בתשובה לאלון עמית, 25/05/05 8:36
 |
|
 |
||
|
||||
 |
מכיוון שאתה ממילא הולך לכתוב מחדש את הערך על "פרדוקס המעטפות" בויקיפדיה, הנה עוד פרדוקס: במשחק שלי קובעים פרס התחלתי בגובה שקל אחד. אתה יכול לבחור בין שתי אפשרויות: לקבל את הפרס, או להטיל מטבע. אם הצלחת בהטלה, הפרס מוכפל פי 3 וחוזרים לשלב הבחירה (ואם לא, הפסדת). ניתוח אסטרטגי: כאשר הפרס הוא X, אני יכול לקבל אותו ולצאת ברווח של X, או לחכות לשלב הבא - בסיכוי 1/2 אני מפסיד, ובסיכוי 1/2 אני יכול לבחור פרס של 3X. ברור שכדאי להמר, כי סיכויי הרווח וההפסד שווים, והרווח האפשרי עולה בהרבה על ההפסד. אם כך - מתי תפרוש מהמשחק? וכמה תרוויח באסטרטגיה הזו? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לא קוראים לכל המשפחה הזאת בשם דילמת(או פרדוקס) המהמר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם. בעצם קוראים לזה "מפלת המהמר" (gamblers ruin). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. מפלת המהמר מתייחסת למצב טבעי הרבה יותר: אם כספך מבצע הילוך מקרי, לא משנה כמה עשיר אתה בהתחלה, בסוף תתרושש (בתנאי שאתה אף-פעם לא אומר "דייני"). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה שאני אפרוש? (חוץ ממגבלות חיצוניות של זמן?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האסטרטגיה שלך היא לא לפרוש לעולם? כמה תרויח ככה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תלוי כמה זה X במידה וX זה סכום סביר (נניח, מעל ל5 שקלים) אז אני ארוויח המון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. בלי לפרוש מהמשחק אתה לא מקבל שום דבר. 2. בשום שלב לא כדאי לפרוש (= תמיד תוחלת הרווח גדולה יותר אם ממשיכים). 3. אם לא תפרוש, הסיכוי שתפסיד בסופו של דבר הוא 1. 4. לכן האסטרטגיה "בחר תמיד באפשרות המשתלמת ביותר" מביאה לתוצאה הגרועה ביותר! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבה נחרוג מהתחום התיאורטי לתחום המעשי: כמה אתה מוכן לשלם תמורת השתתפות במשחק הזה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם X שווה ל10 או 20 שקלים, אני מוכן לשלם עשרות אלפי שקלים כדי להשתתף במשחק הזה (אולי אפילו 100,000-200,000) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא לגמרי ברור לי מהו X אצלך. כשעוזי ניסח את ה"פרדוקס" (תגובה 303303), הוא ציין שהפרס ההתחלתי הוא בגובה שקל אחד; הוא דיבר על X רק בשביל לנתח מה אפשר/כדאי לעשות בשלב כללי כלשהו במשחק (ו- X שם הוא כמובן חזקה שלמה כלשהי של 3). אז הרשה לי לחזור על שאלת שכ"ג, רק ביתר דיוק: כמה אתה מוכן לשלם תמורת השתתפות במשחק הזה (עם פרס התחלתי בגובה שקל אחד)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
10 שניות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי נניח ואני זוכה בהטלת מטבע ראשונה ב3 שקלים. האם הפרס על ההטלה הבאה הוא 9 ש"ח וכו..? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אם זכית ב- 3 שקלים המשחק נגמר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבר בהתחלה אתה יכול לזכות בשקל אחד שלם. אם תרצה להמשיך במשחק, עליך לוותר עליו ולהטיל מטבע: זכית (נגיד "עץ"), המשחק נמשך כשאתה יכול לזכות בשלושה שקלים. הפסדת, המשחק נגמר. כעת אתה יכול לזכות בשלושה שקלים, או להמר. אם תהמר ותפסיד, המשחק נגמר (ואתה לא מקבל כלום). אם תהמר ותזכה, הפרס גדל לתשעה שקלים, ואתה שוב יכול לבחור האם לקבל אותו או להמשיך להמר. וכן הלאה. בסופו של דבר אתה מקבל לכל היותר פרס אחד: ברגע שהחלטת להשתפן ולוותר על המשך המשחק ועל הסיכוי לפרסים הרבה יותר גדולים, תוכל ללכת הביתה עם ה-10460353203 שקלים העלובים שלך... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבנתי. בוא נראה, הטלה לוקחת 10 שניות, ויש 3600 שניות בשעה, בוא נאמר שמקדישים לנושא 10 שעות ביום- ז"א 36,000 שניות. למשך 3 שנים זה יוצא 36 מיליון שניות- משמע 3.6 מיליון הטלות. בגלל שבמספר כ"כ גדול של הטלות אפשר לקבוע כמעט בדיוק מה יהיה הסיכוי שאני אזכה ב 30 או 40 פעמים רצוף . אני אוכל לקבוע מספר מסוים ( בשביל זה אני צריך מחשבון) וברגע שאני מגיע לאותו מספר אני אפסיק את המשחק. אח"כ אני אחשב כמה זה 3בחזקת 30 או 40 . אני מוכן לשלם 70-80 אחוזים מאותו מספר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא יכול לשחק במשחק הזה כמה פעמים שתרצה. מוצע לך משחק אחד (לפי מה שהוסבר לך על "משחק"). כמה אתה משלם? (חידה נספחת שכבר נפתרה כאן כמדומני: איך נוכל להטיל מטבע כשאתה ואני נמצאים משני עבריו של קו טלפון ולא סומכים איש על רעהו?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שהתכוונתי בתגובה הקודמת זה לבצע משהו כמו הוראת קבע. אני אחלק את הסכום שעוזי חישב למספר הפעמים שאני אפסיד במשחק עד שאגיע למספר הנצחונות הרצוף המיוחל ואקח את כל הקופה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה עושה לך חיים קלים. אם יש לך קרן אינסופית כדי לכסות את ההפסדים עד אותה זכיה שתניח את דעתך, בשביל מה לך בכלל לבזבז את זמנך על משחקים מטופשים? בוא נניח שמצבך הכלכלי הוא בערך כמו שלי: יש לך קצת כסף שאתה מוכן לסכן תמורת הימורים עם תוחלת לא-שלילית, אבל לא סכום אינסופי. אני מציע לך הזדמנות *אחת* לשחק נגדי בתנאים שהובהרו, ושואל אותך כמה תהיה מוכן לסכן. סמיילי הציע חצי שקל. אתה מוכן להעלות את הרף? עד איזה גובה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני הצעתי חצי שקל בתנאים שפורטו בתגובה 303630 ולא באלה שפורטו בתגובה 303629 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תמורת האופציה לאסוף שקל לכיסך אתה מציע רק חצי שקל? אני בטוח שיזם זריז מחשבה יהיה מוכן לשלם לפחות 99 אג'. אני מחכה להתעות טובות יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בינתיים החצי שקל שלי הוא ההצעה הטובה ביותר שקיבלת (מה שגורם לי לשקול להוריד את ההצעה שלי ל25 אג'). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חכה, היזמים זריזי המחשבה עוד יתעשתו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1 ש"ח (שוטף + 60) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני קונה במאה, ומוכר לך את הזכות להפסיק את המשחק לפני הסיבוב הראשון במאתיים חמשים... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאה ש"ח. אוקיי, סוף סוף מישהו לא מסתפק בשטיקים אלא נענה לאתגר. מאה ועשרה, מישהו? (ההנהלה אינה מתחייבת לקבל את ההצעה הזולה ביותר או כל הצעה שהיא) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבונית על-סך 8510365821339850160.7 שקלים בדרך אליך. אבל לא ברור לי למה תרצה לעצור בשלב ה-40 של המשחק. אמנם אם תהמר תפסיד בסיכוי של 0.5, אבל אם תנצח בהימור, *תשלש* את הרווח שלך. האסטרטגיה שהובילה אותך עד לשלב הארבעים ("בחר באפשרות שתוחלת הרווח ממנה גדולה יותר") אומרת להמשיך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תשכח את המע''מ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, ההסבר שלך יהיה נכון לגבי כל מספר שאני אציע. לכן, אני אציב מספר שרירותי שיהיה גבוה מספיק כדי להצדיק את ההשקעה. אני לא יודע מה איתך אבל מבחינתי אין הרבה הבדל בין 800 טריליארד שקלים ל2600 טריליארד שקלים לכן זה לא יהיה פספוס גדול מבחינתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהתחלה מטילים מטבע, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת שקל יחיד, או להמשיך במשחק. אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 3 שקל, או להמשיך במשחק. אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 9 שקל, או להמשיך במשחק. אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 27 שקל, או להמשיך במשחק. אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 81 שקל, או להמשיך במשחק. .... אם המשכת במשחק, מטילים את המטבע שוב, אם הוא נופל על עץ, אתה לא מקבל כלום והמשחק נגמר, אם הוא נפל על פלי, אתה יכול לקחת 3^n שקל, או להמשיך במשחק. ... השאלה היא מתי לפרוש, לכאורה, כשאתה נמצא במצב לקחת 81 שקל או להמשיך, כדאי לך להמשיך, משום שהסיכוי להרויח 243 ש"ח הוא חצי, והסיכוי לא להרויח כלום הוא חצי, ככה שהתוכלת של להמשיך היא 121 ש"ח וחמישים אגורות, בעוד שהתוכלת של לצאת היא 81 ש"ח (שזה פחות). הבעיה היא שאותו חישוב מתקיים לכל סכום, לכן אף פעם לא כדאי לפרוש, אבל מצד שני, ודאי ברור לך שאם לא תפרוש מתישהו המטבע יפול על עץ, ואתה תפסיד את כל הרווח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנה המשחק: על השולחן מונח שקל אחד. אתה יכול לאסוף אותו וללכת הביתה, או לבקש מעוזי שיטיל מטבע. אם בחרת באפשרות השנייה, עוזי מטיל את המטבע, ושניכם מסתכלים על התוצאה: אם יצא עץ, אתה הולך הביתה חסר כל, אבל אם יצא פלי, עוזי משלש את הסכום על השולחן, כך שכעת מונחים עליו שלושה שקלים. כעת אתה שוב יכול לאסוף את הכסף מהשולחן וללכת הביתה, או לבקש מעוזי להטיל מטבע נוספת. אם בחרת באפשרות השנייה ויצא עץ, אתה הולך הביתה מחוסר כל, ואחרת (יצא פלי) עוזי שוב משלש את הסכום על השולחן, כך שעכשיו מונחים עליו תשעה שקלים, וחוזר חלילה. כמה אתה מוכן לשלם על מנת להשתתף במשחק? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי זה נושא למכירה פומבית. יהיה מעניין לשמוע הצעות מאיילים שונים. (אני כמובן אארגן את המשחק תמורת קומיסיון צנוע) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה שאתה שואל רק מוכיח שאתה גבר: "הנשים שהשתתפו בניסוי הרוויחו בממוצע לא פחות מהגברים בכל אחת מהאפשרויות האלה. אך כשהועמדה לפניהן בחירה בסיבוב הבא - השתתפות בתחרויות, או לחזור למה שעשו בתחילה ולקבל סכום נמוך בהרבה על כל תשובה נכונה, רוב הנשים העדיפו לא להתחרות, גם לא אלו שהשיגו את התוצאות הטובות ביותר בסיבובים הקודמים. רוב הגברים, לעומת זאת, בחרו באופציית התחרות, אפילו אלה שהישגיהם היו הגרועים ביותר." (מתוך http://www.haaretz.co.il/hasite/pages/ShArtPE.jhtml?...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבין מה פרדוקסלי פה. כל מי שטיפה התעניין בשוק ההון מכיר את הטרייד-אוף בין תשואה לבין ביטחון. בכל השקעה קיים יסוד של אקראיות, ולכן אפשר לדבר על *תוחלת* התשואה שלה ועל *שונות* התשואה (יש כמובן דרכים אחרות, פרט לשונות, למדוד וריאביליות, אבל בואו נצטמצם לשונות). אנשים מעדיפים תוחלת תשואה גבוהה, ושונות תשואה נמוכה ("שנאת סיכון"). דא עקא, תוחלת ושונות הולכות יד ביד: כשהאחת גבוהה, כך גם האחרת. משקיעים ספקולנטיים מעדיפים השקעות עם תוחלת תשואה ושונות תשואה גבוהות, ומשקיעים שמרניים יעדיפו אותן נמוכות. הבחירה היא עניין אישי/סובייקטיבי/פסיכולוגי, ולכל משקיע יש, או אמורות להיות, "עקומות אדישות" (נדמה לי שככה קוראים להן) שמבטאות את העדפותיו בנוגע לטרייד-אוף הנ"ל. פואנטת ביניים: אף אחד לא מסתכל רק על תוחלת התשואה (אחרת כל חברות הביטוח, הטוטו ומפעל הפיס היו פושטים את הרגל); יש לקחת בחשבון תמיד גם את השונות. "אסטרטגיה" במשחק של עוזי היא לפרוש לאחר n סיבובים 1, אם לא הפסדנו בהטלת המטבע קודם לכן, כמובן. אם בחרתי n כלשהו, אזי ניתן לחשב את תוחלת ה"פדיון" מהמשחק (ולא הרווח, משום שתכף אדבר על מחיר הכניסה), וכן את שונות הפדיון 2. כל בחירה של n מתאימה לנקודה במישור התוחלת/שונות; בין כל הנקודות האלו, אני אבחר את זו שיושבת על עקומת האדישות ה"שווה" ביותר שלי (ייתכן שיש יותר מאחת, ואכן ביניהן אני אהיה אדיש). העקומה הזו חותכת את ציר ה"תוחלת" בנקודה כלשהי, וערך תוחלת זה הוא בדיוק הסכום המקסימלי שאסכים לשלם על מנת להכנס למשחק. שתי הערות טכניות: (א) הנחתי שכל הטלות המטבע מתבצעות כהרף-עין, כך שאין פה אלמנט של זמן; (ב) האסטרטגיה של להמשיך לשחק לנצח מבטיחה תוחלת פדיון של אפס, ולכן היא לא מעניינת. אז איפה הפרדוקס? _____________ 1 לפרוש עם השקל ההתחלתי משמעו לפרוש בסיבוב מספר 0 2 פה כתבתי קודם את הנוסחאות המדוייקות לשני הגדלים הנ"ל, אבל המוזילה שלי מציגה אותן בצורה מעוותת שלא הצלחתי לתקן. לא משנה - העקרון לא תלוי בנוסחאות |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אניחושב שאתה מתחמק מהבעיה (לא ממש, רק לא מפרט עד הסוף), נסה לחשוב עליה מהצד השני. נגיד שאתה בעל קזינו שרוצה להכניס משחק חדש, ומעוניין לקבוע את המחיר שלו. לצורך ההנחה, נניח שאתה יודע שלא תהיה לך בעיית לקוחות. אם המשחק הוא הטלת מטבע פשוטה, עץ לוקח 10 שקל, פלי לא לוקח כלום, אז התוכלת של המשחק היא 5 שקל, ולכן אם מספיק אנשים ישחקו, העלות של משחק (נתעלם לרגע מעבודה, פחת וכל זה) תשאף ל5 שקל. לכן, אם תקח 7 שקל, תרוויח *בממוצע* 2 שקל מכל משחק. להבדיל, אם המשחק הוא אין סופי עם תוחלת אין סופית, כמו זה שעוזי תיאר למעלה, לא כדאי לך להכניס משחק כזה בשום מחיר, משום שבכל מחיר שתכניס, עבור מספר לקוחות גדול מספיק, בממוצע תפסיד כסף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז נניח שאתה טיפוס כזה שמוכן להימור בתוחלת X בתנאי שסטיית התקן אינה עולה על 10X. במקרה כזה, זה לא עוזר שאתה מחליט מראש על אסטרטגיה: אם הגעת לשלב ה-n, אתה צריך להחליט האם לסכן את הפרס הנוכחי X (שהוא כמעט כל רכושך, אם n מספיק גדול), בהימור שמביא לרווח של X/2 בתוחלת, עם סטיית תקן 3X/2. כל הזמן אותו יחס. כל הזמן כדאי להמשיך להמר. עד שמפסידים הכל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את תגובה 303650 כתבתי במטרה לענות על השאלה "כמה היית מוכן לשלם על מנת להשתתף במשחק?", וכנראה מיקמתי אותה לא טוב (אם כי אני עדיין עומד מאחורי מה שכתוב בה). אז בוא נשכח משיקולי שנאת סיכון. כתבת: "הימור שמביא לרווח של X/2 בתוחלת"; אתה מניח אם כך, במובלע, שהמשחק *בוודאות יעצור* בשלב הבא, אבל מייד לאחר מכן מדבר על "להמשיך להמר". זה קצת בעייתי בעיני, ועשוי להיות שורש הקושי (אני עדיין חושב שצריך להחליט מראש על אסטרטגיה). את השאלה הבסיסית שלך אני מבין בתור "כיצד צריך לפעול אדם שאכפת לו רק מתוחלת הזכייה?". אם נסכים ש"מרחב האסטרטגיות" הוא זה שהצעתי, אזי התשובה היא שזוהי בעיית אופטימיזצייה לא חסומה, ולכן פשוט אין דרך פעולה אופטימלית: לאסטרטגיה "פרוש בשלב n" יש ערך 3/2 בחזקת n, ולקבוצת הערכים הנ"ל אין מקסימום. לא צריך את כל המנגנון ההסתברותי כדי לייצר בעייה כזו - אני מציע לך כל סכום שתבחר; בכמה תבחר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחת מההנחות הקבועות בתורת המשחקים היא שאפשרות נוספת לא יכולה להזיק. אם בצעד הבא הפרס עומד על 3X (וזוכים בו בסיכוי חצי), אז תוחלת הרווח היא *לפחות* 3X/2; העובדה שאפשר להמשיך להמר אמורה להגדיל את הרווח ולא להקטין אותו. גם הבעיה שאתה מציע מעניינת, אבל ההבדל הוא שבסיטואציה של המשחק יש רק שתי אפשרויות (בכל שלב, כמובן). זה הופך את העובדה שהרווח לא חסום ליותר מסובכת. אם העסק לא מספיק מסובך, הנה בעיה חדשה. נניח שאנחנו מחליפים מעטפות. אני מטיל מטבע עד שנופל "עץ", ושם במעטפה 3-בחזקת-מספר-המטבעות. אתה עושה אותו דבר, עם 4-בחזקת (כל ההגרלות בפיקוח רואה חשבון). כעת מחליפים מעטפות, וכל אחד מקבל את הפרס שהשני הטמין במעטפה. האם אתה מעוניין לשחק? זה נשמע כמו רמאות, אבל אני יכול לשכנע אותך להסכים: אני אפתח את המעטפה שלי ראשון! אם קיבלתי 4, המשחק משתלם לך. אם קיבלתי 16, המשחק משתלם לך. וכן הלאה: לא חשוב כמה אני מקבל, אתה תמיד מרוויח. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |