בתשובה לארז ליבנה, 10/04/05 2:45
 |
|
 |
||
|
||||
 |
שוב, לפני שאלון ועוזי יגיעו, אני אגניב מילה. אני מציע לך לקרוא את "חתך הזהב" של מריו ליביו, שבניגוד לכל מני ספרים דווקא לא מעריץ בצורה עיוורת את המושא שלו וטוען כי רוב המקרים שבהם טוענים שחתך הזהב "מופיע" הם קשקוש ומדידה סובייקטיבית וכדומה. דווקא בקונכיות זה לא ככה, והקשר שלו לקונכיות נובע מתוך סדרת פיבונאצ'י. אגב, אם אתה לא רוצה לערבב "קבועים מדידים" עם פאי ואי, למה אכפת לך אם חיתוך הזהב מופיע בטבע גם כקבוע מדיד? יותר מעניין מה השימושים המתמטיים שלו (שהם פחות מרובים משל אי ופאי). אני לא בטוח את הכוונה ב"ממדים גבוהים יותר". הרי אפשר להציג את המספרים בתור וקטורים של כמה ממדים שרק נרצה, כולל אינסופיים. החשיבות הגדולה יותר של המרוכבים היא שהם שדה סגור אלגברית - לכל פולינום יש את כל השורשים שלו (זה מה שמכונה "המשפט היסודי של האלגברה"). במובן הזה, שדה המרוכבים הוא שדה "טוב מספיק" בשבילנו - אין ממש איך להרחיב אותו כדי שיכיל עוד שורשים של פולינומים (ועוזי מוזמן לתקן את הטעויות הנוראיות שכנראה נפלו במשפט האחרון). יש גם מספרים קוואטרניונים, שמהווים מעין הרחבה של המרוכבים (אתה מוסיף עוד שני מספרים, j,k, עם תכונות דומות לאלו של i), אבל אני לא מכיר אותם ולא יודע מה השימושים שלהם. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
''חתך הזהב'' של מריו ליביו הוא ספר נורא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהזדמנות אחרת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. יחס הזהב (f, בערך 1.618, מקיים את המשוואה f^2=f+1) הוא כידוע הגבול של היחס בין מספרים עוקבים בסדרת פיבונאצ'י, ולכן הוא מופיע באופן טבעי בכל מקום שבו הסדרה הזו מופיעה (למשל: שברים משולבים). לאחרונה נתקלתי במספר הזה בהקשר פחות צפוי, במשפט שגילה סטודנט מתל-אביב. נאמר ששתי סדרות a_n,b_n של מספרים טבעיים הן "שקולות" אם ההפרש ביניהן (=ההפרש בין האיבר במקום ה-n בסדרה הראשונה, לאיבר באותו מקום בסדרה השניה) חסום. נניח ש- a_n סדרה עולה, וש- b_n היא סדרה שמקבלת ערכים שונים מאלו של a_n, פרט למספר סופי של ערכים (שיכולים להופיע בשתי הסדרות). בנוסף לזה, נניח שסדרת ההפרש a_n-b_n שקולה לסדרה n. אז a_n שקולה לסדרה f*f*n, ו- b_n שקולה לסדרה f*n. (החלק השלם, כמובן). 2. קווטרניונים: הם בוודאי יותר שימושיים מהמונה ליזה. למשל, אפשר לבנות בעזרתם יריעות קומפקטיות שאין להן (לאף שתיים מהן) מרחב כיסוי משותף מאינדקס סופי. זו ההתחלה של תאוריה מאד עשירה שקושרת את תורת החבורות לאלגברה ולגאומטריה. 3. פגשתי בשבוע שעבר מתמטיקאי מפורסם שיש משפחה של משטחים שקרויים על שמו. הראיתי לו מאמר שכתבתי עליהם, והשותפה שלי לעבודה סיפרה שהם מופיעים גם בדוקטורט שלה. תגובתו היתה: I am glad they are still useful, at least for theses.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מפתיע למדי, אבל אפילו לקווטרניונים המוזרים יש כיום שימושים ארציים עד מאוד. כל מי שעוסק באנימציה ממוחשבת, סביר שייתקל בהם איכשהו (אלא אם הוא עובד בחברה גדולה ויש לו Technical Directors בשביל דברים כאלה). הסיפור בקצרה: נניח שאתם האנימטורים של Shrek ואתם מלמדים אותו ללכת, לקפוץ, להסתובב, להביט למעלה או לסובב את האוזן, כל מיני דברים כאלה. הדרך שבה עושים זאת הוא לבצע שלל פעולות הזזה וסיבוב על חלקים שונים בגופו של ה-ogre החביב. איך מסובבים? התוכנה מראה לכם שלושה צירים, ואתם גוררים עם העכבר קצת בציר X, קצת בציר Y ואם צריך אז גם קצת בציר Z. זה נוח ופשוט, ודי קל לאחר מכן גם להביט במספרים ולהבין מה עשיתם. הבעיות מתחילות כשהמחשב מנסה לבצע אינטרפולציה בין הפוזות השונות שיצרתם. כמו שפעם האנימטור הראשי היה מצייר את דונלד-דק לפני ואחרי הקפיצה, והצייר הזוטר היה משלים את שלבי הביניים, היום המחשב הוא הצייר הזוטר: אתם רק יוצרים מה שנקרא keyframes והמחשב עושה את היתר. ואז לוחצים על play והכל נפלא חוץ מזה ששרק עושה תנועות מצחיקות עם הראש והברך שלו התהפכה אחורה. אופס. מה קרה? אה-הא! לא השתמשתם בקווטרניונים, זה מה שקרה. הפרטים (gimbal lock) לא חשובים כרגע; מה שמעניין הוא שבאתרים של אנימטורים ומתכנתי-משחקים, וגם בספרי ההדרכה של תוכנות האנימציה החשובות, מוקדשים פרקים ליסודות האלגברה של קווטרניונים. לא רק שהתוכנות משתמשות בזה לצורך הייצוג הפנימי של הדינמיקה, גם המשתמש עלול להזדקק להבין מתי מותר לו להשתמש בזוויות אוילר ומתי בקווטרניונים. אני בטוח שסר האמילטון היה מרוצה (נדמה לי שעיקר המוטיווציה שלו "להמציא את הקווטרניונים", כלומר למצוא איך כופלים רביעיות1 של מספרים, היתה גיאומטרית, אפילו פיזיקלית, ולא אלגברית). 1 הוא בעצם ניסה לכפול שלשות, ואת זה אי-אפשר: נסו פעם לסרק כדור ותראו למה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם לדעתך אפשר להיתקל בקווטרניונים במסגרת קורס לתואר ראשון, ואם כן, איזה? אם לא, איפה אתה ממליץ להתחיל לקרוא בנושא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בזמנו היה תרגיל בקורס בתכנות מונחה עצמים בטכניון שבו נדרשו הסטודנטים (ועבדך הנאמן ביניהם) לממש קווטרניונים ב-C++, ובמיוחד לממש את העמסת האופרטורים הנדרשת, אבל נראה לי שזה לא מה שאתה מחפש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במכניקה של פיסיקאים ובפרט במכניקה אנליטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב"מכניקה אנליטית" הטכניוני שעשיתי (לשווא) ב~1998 לא דובר עליהם, או שבאמת הדחקתי קשות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שבגולדשטיין יש פרק מיוחד רק על זה , בקשר לגופים צפידים. אני חושב שקווטרניונים הם בעצם מטריצות פאולי, אבל לא התעסקתי בזה שנים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשאתה כותב "גולדשטיין" אתה מתכוון ל"ברוך הגבר"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגיוני. בקורס האמור למדנו פרקים נבחרים מגולדשטיין, אבל לא את כולו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אני זוכר נכון, האוסף שכולל את מטריצות פאולי ואת מטריצת היחידה 2x2 הוא קווטרניון שמופיע לא מעט בפיזיקה קוונטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אני לא מפספס שום דבר, זה צריך להיות נכון לכל הצגה של חבורת הספין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה כמעט זוכר נכון. גם מטריצות פאולי וגם הקווטרניונים הם ספינורים, גם מטריצות פאולי וגם הקווטרניונים הם אלגברת קליפורד מסדר שני. אבל החתימה שונה. מטריצת פאולי בריבוע היא מטריצת היחידה, והקווטריון בריבוע הוא מינוס אחד. i כפול מטריצות פאולי זאת הצגה של הקווטריונים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה כמובן צודק. אפילו מצאתי את זה באיזו מחברת. האם גם ממטריצות גאמא ניתן ליצור קווטרניונים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מניח שכן. לפי http://mathworld.wolfram.com/DiracMatrices.html כל שלישיה, סיגמא או רו, מתנהגת דומה למטריצות פאולי, ולכן אפשר לבנות ממנה קוטריונים בתוספת i. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא סביר במיוחד, אני חושש. יש ספר חמוד של Conway & Guy שנקרא "The Book of Numbers", ואם אינני טועה יש בו פרק על הקווטרניונים; זה מתאים להקדמה חביבה ולא מחייבת. יש ספר רציני הרבה יותר, נדמה לי של Ebbinghaus ועוד אנשים, שנקרא פשוט "Numbers". אני מכיר אותו רק מעלעול, אבל כדאי לך לנסות, הוא נראה טוב. אם אתה אוהב תורת-המספרים, אתה צריך לקרוא את Hardy & Wright, שם מוכיחים (גם) שכל מספר הוא סכום של ארבעה ריבועים תוך שימוש (גם) בקווטרניונים. אני זוכר שבספר של Arfken על שיטות מתמטיות לפיזיקאים יש דיון בקווטרניונים, מן הסתם תלמד משם על אפליקציות מסוגים אחרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש ספר של אדלר (http://www.sns.ias.edu/~adler/) שניסה לבנות מכניקת קוונטים מעל הקווטריונים | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש לך מושג *למה* הוא ניסה לעשות זאת? (הוא לא נראה כמו טרחן כפייתי...). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן (יש לי מושג), והוא לא היחידי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מאלה שאין טעם לשאול אותם אם יש להם שעון, נכון? (רק אם בא לך, ואם אפשר במסגרת קצרצרה כזו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מצטער, פירוט נוסף יעלה לי בחשיפת זהותי. אם תרצה, אוכל לתת לך תשובה מפורטת יותר בדוא''ל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המקום הטבעי הוא קורס בתורת החוגים (אבל בשלב הזה הם מופיעים בעיקר כדוגמא לחוג לא קומוטטיבי עם חילוק). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק בתפקידם זה ראיתי אותם בקורס אלגברה מודרנית ח' בטכניון (גדי, אתה טכניוניסט, נכון?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אבל לא מברי המזל שלומדים אלגברה מודרנית ח', אלא מבחו''ש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה מאוחר מדי בשבילי, אם כי באמת שמעתי שבסמסטר אחר כן הביאו אותם כדוגמא. אבל אני מניח שבתור דוגמא מספיק לי לחפש בהרשטיין ושות'. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1 אפשר הסבר על סרוק הכדור? האם זה קשור לחוסר היכולת למפות את פני הכדור באמצעות מערכת קואורדינטות (ללא נקודות סינגולריות) יחידה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נתחיל מהשאלה השנייה: לא ממש קשור. היכולת לסרק היא שאלה עדינה יותר מהיכולת למפות עם מפה אחת (מה שאפשר למפות, אפשר בקלות לסרק, אבל החלק המעניין הוא מתי אפשר לסרק דברים הדורשים יותר ממפה אחת, שזה "רוב" היריעות). כשמנסים "לכפול" וקטורים ממימד כלשהו n, משתדלים לשמור על כמה כללים בסיסיים כמו חוק הפילוג או שימור המכפלה הפנימית. אחת מתוצאות הלוואי היא זו: קח וקטור קבוע z הניצב ליחידה (כלומר לוקטור (0, 0, ... ,1)), וכפול אותו בוקטור כלשהו x שארכו 1. את התוצאה הזז כך שבסיסה יהיה בקדקודו של x. עשה זאת לכל ה-x-ים באורך 1; תקבל סירוק של הכדור, כלומר אוסף חלק ונאה של וקטורים באורך 1 המשיקים לכדור היחידה ה-(n-1)-ממדי. דוגמה פשוטה: אם n=2, אפשר להשתמש בכפל הרגיל של מספרים מרוכבים; ניקח z=i ונקבל וקטור יחידה משיק הפונה "שמאלה" (נגד כיוון השעון) בכל נקודה על המעגל. לסיכום: *אם* יש כפל סביר של וקטורים n-ממדיים, *אז* יש סירוק של הספירה ה-(n-1)-ממדית, כלומר אוסף רציף של וקטורי יחידה משיקים לכל נקודה על הספירה. דא עקא, שספירות ממימד זוגי אי אפשר לסרק. אם יש לך שיער על כל הראש, אז כשאתה מסתרק תמיד תישאר שערה שאין לה לאן ללכת. או: בכל רגע יש נקודה על-פני כדה"א שבה לא נושבת רוח. יש לזה הרבה הוכחות; לרוב מסתמכים על משפט נקודת-השבת של בראוור, ויש הוכחה יפה של מילנור המשתמשת רק בחישוב נפח פשוט. הנה תמונה מצ'וקמקת מאוד המראה את הכדור החד-ממדי מסורק, ונסיון טיפוסי כושל לסרק את הכדור הדו-ממדי (כל החיצים הולכים פשוט מזרחה): מסקנה: אי-אפשר לכפול שלשות, חמישיות, וכו'. למעשה המצב חמור הרבה יותר: אפשר לכפול רק זוגות (מרוכבים) או רביעיות (קווטרניונים, ויש לוותר על חוק החילוף) או שמיניות (אוקטוניונים או "מספרי קיילי", ויש לוותר גם על חוק הקיבוץ). מכאן והלאה זה לא עובד בכלל; זה כבר משפט קשה, ואני יודע די מעט על ההוכחה שלו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על ההסבר הנאה. חשדתי שזו הכוונה, אבל לא הייתי בטוח. ---------- בחיי, השטויות שמעסיקות אתכם, אפשר להשתגע... :) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(המשפט על כפל של n-יות הוא של Hurwitz מ- 1898, והוא לא כל-כך קשה (=אפשר להסביר לתלמידי שנה ב' בשעור אחד)). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון! טעות שלי. המשפט הקשה שהתייחסתי אליו הוא זה שמדבר על אלגבראות-עם-חילוק באופן כללי, בלי להניח כלום על נורמות (תוצאות של אדאמס, בוט, מילנור). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |