בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 31/08/04 10:49
 |
|
 |
||
|
||||
 |
תגובה 225650. אין לי גישה לתגובות, אם תוכל להעתיק כמה ייצוגיות זה יכול להיות נחמד... בכל אופן, לפי מיטב שיפוטי (שזה לא הרבה, במקרה זה), ההשערה טרם הוכחה, ומיליון הדולר עדיין מצפים לפותר הראשון. קדימה לעבודה! |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
באמת חבל שתפסיד את התגובות. #2 "עכשיו אתם מבינים למה אין פרס נובל במתמטיקה?" "אנשים מקדישים את כל חייהם לשטויות האלו במקום לנסות להתמודד עם השאלות הגדולות של החיים והיקום!" (הוא לא יודע שגם על זה התשובה היא מתמטית? 2*3*7). #9 "על חשיבות המתמטיקה" "מתמטיקה היא אמנם דבר חשוב, אבל רק כשיש לה יישום במדעים האמפיריים. מעבר לזה מתמטיקה היא סתם משחק חביב וחסר חשיבות, שבאמת אין סיבה לקרוא לה "מדע". באותה מידה גם פתרון של בעיות בשחמט אינו שייך לתחום המדע, וחבל שמתמטיקאים נפגעים כאשר אומרים להם את האמת." #14 "השערת רימן" "על מנת להגיב על כתבה זו - יש להיות מצויד בהשכלה גבוהה במתמתיקה. המתימתיקה היא מלכת המדעים - בזכותה בא לעולם המחשב למשל." #27 "פרדוקס!!!!!!!!!" "אם אני חושב שכל מי שמגיב לכתבה הוא חנון משועמם , ואני רוצה להעביר את המסר הזה ע"י תגובה , האם זה עושה אותי אחד כזה ?" #28 "לא לעולם חוסן" "העיסוק האובססיבי במספרים ראשוניים ייעלם ברובו (ביחד עם הצפנות מבוססות RSA) עם הופעת המחשבים הקוואנטים ואיתם הסוף לשאלה "כמה זמן ייקח למעבד לחשב". " #56 "הרגתם לי את הבריאות !!!" "ממתי אפשר להוציא שורש ממספר שלילי ??? לפי הסדר הישן שבראש שלי אני זוכר שהמורה רמי אמר שמינוס כפול מינוס זה פלוס , וכך גם פלוס כפול פלוס . אז עכשיו צריך להתרגל לדבר חדש : אם הבנתי נכון ותקנו אותי אם אני טועה : מספרים מרוכבים : איקס בריבוע פלוס אחד שווה אפס . מעבירים אגפים : איקס בריבוע שווה מינוס אחד . ואז המסקנה המעט מוזרה לי אני חייב להודות : איקס שווה פלוס מינוס" i " . הבנתי נכון ??? " #89 (בתגובה להודעה קודמת שציטטה את המשפט של גלואה על פולינומים ממעלה חמישית) "גלואה לא הוכיח שאין פתרונות למעלה חמישית ומעלה בכלל הוא הוכיח שאין פתרונות למעלה חמישית ומעלה בכלים המתמטיים שיש לנו היום זה הבדל עצום" למערכת: אם תגובתי כוללת שלושה סימני קריאה או הרבה יותר בין מרכאות, זה לא אומר שאני מתלהם אלא (למשל) שאני מעתיק תגובות מ- Ynet. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גדול. תודה רבה (בפעם הראשונה אני באמת מצטער שאין לי גישה ל-Ynet). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שים לב ל-9 ו-14 בהקשר לשיחתנו הקודמת (כמובן שאלו לא מגיבים אינטליגנטיים במיוחד; מצד שני, הניסוחים שלהם לטענה המושמצת לא ממש מרוככים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טושה :-) יפה אמרת. להגנתי אומר שכשדיברת על "טענה נפוצה מאוד" (אאז"נ) לא חשבתי שאתה מתכוון לטוקבקיסטים של Ynet... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהלן, כטרחן חובב אני רוצה לשטוח כאן מחשבה שעלתה בי (אלוהים ירחם על נשמתי) כששהיתי בסיני. אני אתחיל בכמה דברים שידועים לכל מתמטיקאי היטב, אך כך הוא קו המחשבה שלי: מספרים ראשוניים זוכים למעמד של אצולה בתורת המספרים מכיוון שבאמצעות פעולת כפל ניתן ליצור מהם את כל קבוצת המספרים הטבעיים. הליגה הלאומית של קושיות מתמטיות כמו משפט פרמה והשערת גולדבך עוסקים בהם, והם מושכים המון תשומת לב. האם הם כ"כ מיוחדים? מה בעצם השוס הגדול בפעולת הכפל? מדוע העובדה שלא ניתן להציג אותם כמכפלה (אלא ב-1) בצורה n=a*b הופכת אותם ל"אטומים" של המספרים הטבעיים? הרי פעולת הכפל היא בסך הכל חיבור מתוחכם: a*b זה a+a+a+..+a במספר חזרות של b. פעולת החזקה, היא כפל מתוחכם, באותו אופן: a^b זה a*a*a*..*a במספר חזרות של b. וניתן לחזור על זה עד אינסוף עם פעולות חזקות יותר ויותר שודאי מישהו כבר נתן להם שם וסמל שאינם ידועים לי כמו: a#b=a^a^a^..^a וגםa//b=a#a#a#..#a וכן הלאה והלאה..אז כמה תהיות: 1. מה בדבר קבוצת כל המספרים שאינה יכולה להיות מגולמת בביטוי n=a^b. נגיד נקרא לההם מספרים שניוניים. קבוצת המספרים הראשוניים מוכלת בה, אך היא גדולה הרבה יותר. קבוצה זו, בתורה, מוכלת בקבוצת המספרים שאינה יכולה להיות מיוצגת ע"י n=a#b (מספרים שלישוניים) וכן הלאה והלאה. עד כמה שבורותי משיגה, לא נמצא קשר מספק בין המספרים הראשוניים (יש איזשהו קירוב צפיפות ראשוניים של גאוס אבל לא משהו מוצק ממש). אולי אל לנו לחפש תבנית בציר החד-מימדי של הכפל (בין המספרים הראשוניים לעצמם) אלא במישור הדו-מימדי של מס' ראשוניים, שניוניים, שלישוניים וכו'.. אולי משם יתגלה האור? 2. ככול שמפליגים עם פעולות חזקות יותר (כמו # ו-//) קבוצת המספרים הבלתי ניתנים לייצוג הופכת גדולה בהרבה, ואולי פחות מעניינת, מקבוצת המספרים ה"פריקים", הניתנים לייצוג. הייתכן שמאמץ רב הושקע בחקר טיבם של המספרים הראשוניים, בעוד דווקא קובצת הפריקים המשלימה מעניינת מהם בהרבה? מה שומר על פריקותם מספרים כמו 16 ו-27 עד הרמה השלישית, הרבה אחרי שרב המספרים כבר לא ניתנים לייצוג? (2*8=16 , 2^4=16 , 2#3=16 , 9*3=27 , 2^3=27 , 3#2=27) 3. המספר 4 מתגלה כאן כמספר מיוחד, "הפַריק נצחי", בכל רמה: 2*2=4, 2^2=4 , 2#2=4 , 2//2=4 . האם כבר עמדו על תכונתו המופלאה הזו? היתכן ש-4 הוא מספר בעל ערך בטבע כמו הפאי, הפִי וה-e ? דרך אגב, האם ישנם עוד מספרים כאלה? 4. האם ישנן רמות פונקציות נמוכות מפעולת החיבור? בין הפותרים נכונה יוגרל פותר שלא פתר נכונה! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה בטוח שמשפט פרמה מתעסק בראשוניים? עד כמה שידוע לי הוא מדבר על כל שלשה של מספרים טבעיים (כשהחזקה היא מספר טבעי בעצמה וגדולה מ-2). הקטע עם ה"אטומים" של המספרים הטבעיים בא לידי ביטוי במשפט היסודי של האריתמטיקה, שאומר שכל מספר טבעי (חוץ מ-1) אתה יכול לכתוב כמכפלה של ראשוניים - ודרך ההצגה הזו היא יחידה עד כדי שינוי סדר ההופעה של הראשוניים במכפלה. זה די טוב, כי אם אתה מכיר טוב ראשוניים ותכונות שלהם שנשמרות בכפל, אתה תדע דברים על כל המספרים הטבעיים. לי עקרונית נראה שהראשוניים כל כך מהוללים לא בגלל קיום התכונה שמגדירה אותם (אי ההתחלקות) אלא בגלל שבזכות התכונה הזו, הם מופיעים במקומות רבים ומשמשים למטרות רבות. הנה דוגמא שאפילו סטודנט לתואר ראשון כמוני מכיר: במקומות רבים במתמטיקה משתמשים במבנה אלגברי שנקרא "שדה". אפשר לחשוב עליו כעל הכללה של קבוצות כמו המספרים הרציונליים, הממשיים והמרוכבים. זו בעצם קבוצה של איברים שמוגדרות עליהם שתי פעולות (שנקראות "חיבור" ו"כפל" אבל יכולות להיקרא גם "קוקוקו" ו"טרלהלה") שמקיימות כל מני תכונות "נחמדות" (למשל, a+b=b+a) וקשורות זו לזו באמצעות חוק הפילוג שאנחנו מכירים מבית הספר (a(b+c)=ab+ac). עכשיו, נשאלת השאלה איך נראים השדות שיש בהם מספר סופי של איברים (ובפרט כמה איברים יש בהם). מתברר שמספר האיברים בכל שדה סופי הוא חזקה של מספר ראשוני כלשהו. הסיבה שזה דווקא ראשוני נובעת מהתכונות של המספרים הראשוניים, בפרט מהעובדה שאם תיקח שני מספרים שקטנים ממספר ראשוני נתון ותכפול אותם, התוצאה שתקבל לא תתחלק במספר הראשוני ללא שארית (כי אם מספר ראשוני מחלק מכפלה של שני מספרים, הוא בהכרח מחלק אחד משני המספרים). זו תכונה אחת. אני בטוח שאוטוטו יבואו המתמטיקאים האמיתיים ויביאו תכונות יותר פשוטות ויותר ברורות מזו שאני הבאתי. (מישהו רוצה לדבר על RSA?) (אגב, ההודעה שלך הייתה רצינית או נסיון חיקוי להודעות של טרחנים?). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אצל טרחנים אין סימני שאלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בקשר לסעיף 3: תגובה 163844 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שיש פה כמה אי-דיוקים, אנסה לענות בלי לטרחן :-) "מספרים ראשוניים זוכים למעמד של אצולה בתורת המספרים מכיוון שבאמצעות פעולת כפל ניתן ליצור מהם את כל קבוצת המספרים הטבעיים." לא הייתי מנסח זאת כך בדיוק (יש הרבה קבוצות חלקיות של הטבעיים העונות על הקריטריון הזה). בכל אופן מה שחשוב הוא שמספרים ראשוניים צצים בהקשרים מתמטיים רבים מאוד (גם בלי שמניחים מראש שיש להם מעמד אצולה), וזה (גם) מה שמעניק להם את חשיבותם. "הליגה הלאומית של קושיות מתמטיות כמו משפט פרמה והשערת גולדבך עוסקים בהם, והם מושכים המון תשומת לב." שוב, לא מדויק (משפט פרמה אינו קשור דווקא לראשוניים), אבל זה שוב לא העיקר - זה נכון שהם מושכים המון תשומת לב. "האם הם כ"כ מיוחדים?" נראה שכן. "מיוחד" זה מושג סבוך; הרבה מתמטיקה יפה נוצרה תוך כדי מחקר תכונותיהם של הראשוניים, וחלק ניכר ממנה חורג בהרבה מ"מחקר פעולת הכפל". אני חושב שזה העיקר. "מה בעצם השוס הגדול בפעולת הכפל?" לא יודע מה זה "שוס גדול", אבל כפל היא פעולה טבעית למדי, ולאו דווקא בהקשר של "חיבור חוזר". גיאומטריה ופיזיקה מלאות מכפלות. "מדוע העובדה שלא ניתן להציג אותם כמכפלה (אלא ב-1) בצורה n=a*b הופכת אותם ל"אטומים" של המספרים הטבעיים?" אני לא בטוח מה זה "אטומים", אבל שוב: בהרבה הקשרים הדרך המוצלחת לתקוף שאלה הנוגעת (אפילו בעקיפין) למספרים טבעיים היא לפרק לגורמים ראשוניים. יחידות הפירוק היא כלי מאוד מאוד מועיל. "עד כמה שבורותי משיגה, לא נמצא קשר מספק בין המספרים הראשוניים" אני לא יודע מה זה "קשר מספק". הראשוניים מופיעים באופן שהוא מצד אחד "כמו-אקראי" ומצד שני נתון לשליטתם של חוקים עדינים. אם ב"צפיפות גאוס" הכוונה למשפט המספרים הראשוניים, אז כדאי לדעת שיש תוצאות הרבה הרבה יותר מדוייקות ממנו, לעיתים מפתיעות עד מאוד. "אולי משם יתגלה האור?" אולי, אבל לא הייתי בונה על זה. רוב המחקר המודרני על מספרים ראשוניים נסמך על כלים המרחיקים לכת הרבה מעבר לעולם השלמים, ויש תחושה חזקה ש"האמת" על הראשוניים גלומה בפונקציה (מרוכבת) מסתורית-משהו בשם פונקציית-זיטא (של רימאן). יש לכך סיבות טובות למדי; יהיה מפתיע מאוד (לי לפחות) לגלות ש"המספרים השניוניים" ושות' יודעים לספר לנו משהו מעניין על הראשוניים. אין כאן חלילה פסילה של הרעיון; צריך רק להבין שעצם המחשבה על הכללות ווריאציות על נושא הראשוניים אינו מהווה חידוש של ממש. "הייתכן שמאמץ רב הושקע בחקר טיבם של המספרים הראשוניים, בעוד דווקא קובצת הפריקים המשלימה מעניינת מהם בהרבה?" קשה לי לראות איך אפשר לצקת תוכן לטענה הזו. אין יותר "אינפורמציה" בקבוצה מאשר בקבוצה המשלימה לה. "האם כבר עמדו על תכונתו המופלאה הזו?" כן (אני למשל :-) ). "היתכן ש-4 הוא מספר בעל ערך בטבע כמו הפאי, הפִי וה-e ?" לא נראה לי, בוודאי לא מהסיבה שציינת... קשה להאמין שישנם עוד מספרים בעלי חשיבות עצומה כמו פאי ו-e. את פי (אני מניח שכוונתך ליחס הזהב) אפשר להשאיר בצד, הוא לא באמת כזה מעניין. "דרך אגב, האם ישנם עוד מספרים כאלה?" ברוב ההקשרים (כלומר, כל עוד אתה לא מנסה להכליל את המושג "מספר" יותר מדי), למשוואה X * X = X + X יש רק שני פתרונות (0 ו-2). לא צריך ללכת רחוק, אם כן, כדי לבודד את 4 כמספר היחיד הנהנה משתי הצגות שכאלה."האם ישנן רמות פונקציות נמוכות מפעולת החיבור?" הוספה של b ל-a הוא איטרציה b פעמים של הפעולה "הגדל ב-1". מעבר לזאת אני לא יכול לחשוב על פתרון הולם לקושיה. בלוגיקה מתמטית עושים קצת שימוש בניסוח הזה כדי להעמיד את האריתמטיקה על היסוד הפשוט של פעולת ה"עוקב" (המספר הבא). ======= המטא-תשובה לניסיון הטרחנות (הכושל!) שלך הוא כזה: כל חשיבה מקורית מהסוג הזה היא ברוכה; לפעמים זה רק שעשוע, לפעמים זה אפילו לא מצליח לשעשע, ולעיתים נדירות זה הופך ממש למשהו מעניין. כדי לשכנע מישהו שזה מעניין, הטריק העיקרי הוא להראות שמשהו בלתי-צפוי קורה: לגלות עובדה שהיא נכונה, לא טריוויאלית, וטוב מכל - נקשרת לתחומים אחרים במתמטיקה (או במדע אחר). אגב, פונקציות-חזקה מורכבות כמו אלו שתיארת נחקרו לא מעט, ואכן מתרחשיםדברים קצת מפתיעים כשממשיכים ועוברים לפונקציות הגדלות מאוד מהר. משפט Goodstein שנדון כאן בתגובות הוא דוגמה אחת. מעניין מאוד לקרוא בקישור הזה: הנפתח ב- Large numbers have interested me almost all my life...
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה אלון, על התגובה המושקעת! כמה זוטות נוספות מצידי: - משפט פרמה: רשלנות שלי. לא יודע איך הוא התחבר לי עם ראשוניים פתאום.. - למה חתך הזהב לא כזה מעניין? - אז חוץ מפאי ו-e לא נודעו עוד מספרים ממשיים (או רציונאליים) בעלי ערך בטבע? - 4 מקיים יותר מאשר יכולת פריקות בחיבור וכפל. הוא פריק ב*כל* רמה. לאן אפשר לקחת את זה, אם בכלל? - "אם ב"צפיפות גאוס" הכוונה למשפט המספרים הראשוניים, אז כדאי לדעת שיש תוצאות הרבה הרבה יותר מדוייקות ממנו, לעיתים מפתיעות עד מאוד" התוכל להרחיב? - וכן, מה זה פונקציית זיטא? ובכלל, מהי השערת רימן הכ"כ מפורסמת? (אנא, להדיוטות) - ככול שעולים לפונקציות גבוהות יותר, קבוצת המספרים הולכת ומצטמצמת (עד שבאינסוף נותר רק 4 ?). האם אתה רואה חשיבות לחקר קצב השינוי של גדלי הקבוצות הללו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"משפט פרמה: רשלנות שלי. לא יודע איך הוא התחבר לי עם ראשוניים פתאום..." לא קשה לנחש: הצעד הראשון והפשוט ביותר בכל ההוכחות ונסיונות-ההוכחה של משפט פרמה הוא להחליף את הטענה "לכל מספר טבעי n גדול מ-2, אין פתרונות למשוואה..." ב-"לכל מספר *ראשוני* אי-זוגי n, אין פתרונות לאותה משוואה, וכנ"ל ל-n=4", והרי לך דוגמה מצויינה לשימוש בראשוניים כדי לטפל בטענה שבמבט ראשון אין לה עימם דבר וחצי דבר. זה תרגיל נחמד (לא לגמרי קל למי שלא ראה דברים כאלה קודם) להבין מדוע הרדוקציה הזו תופסת (כלומר, מדוע באמת מספיק להוכיח עבור ראשוניים). והרי לך גם הופעת אורח של 4 חביבך. "למה חתך הזהב לא כזה מעניין?" מספר הוא לא כזה מעניין אלא אם יוכח אחרת. השאלה היא, למה הוא כן מעניין? יחס הזהב הוא פתרון של משוואה ריבועית קטנה, יש לו פיתוח חמוד לשברים משולבים, הוא מככב בנוסחאות למספרי פיבונצ'י, אבל נדיר מאוד למצוא אותו במקומות אחרים במתמטיקה וכל הנ"ל הם בעיקר קוריוז. העובדות שהזכרתי, אגב, נובעות בקלות זו מזו - אין כאן שום דבר עמוק. יש טענה מפורסמת שהיחס הוא בעל איכויות אסתטיות נדירות, אבל היא טיפה מפוקפקת; נכון שהמלבן המתאים הוא נאה, ונכון שאפשר למצוא את היחס פה ושם באדריכלות ואמנות, אבל אין ספק שיש שתיים-שלוש יצירות מופת שאינן כוללות שום יחס זהבי. וכן, אפשר למצוא אותו גם בחמניות. אל תבין אותי לא נכון, אני מחבב אותו מאוד וכמה מחברי הטובים ביותר וכו'. אבל הוא ממש לא בליגה של e ופאי. "אז חוץ מפאי ו-e לא נודעו עוד מספרים ממשיים (או רציונאליים) בעלי ערך בטבע?" המממממ... לא במיוחד, אלא אם אתה סופר את 1, 2, 7, 137, מינוס אחד, גאמה, קבוע פלאנק, מהירות האור ואולי עוד כמה. i חשוב מאוד אבל הוא לא ממשי, לצערנו. "לאן אפשר לקחת את זה, אם בכלל?" לא רחוק מדי עד כמה שראייתי מגעת, אבל אל תאמין לי. נסה לדמיין לאן אפשר לקחת את זה, וקח את זה לשם. זה אחד הדברים היפים במתמטיקה. אילו עסקתי, נניח, בביולוגיה מולקולרית (מזל, נכון?), הייתי בהחלט צריך להפגין יצירתיות ודמיון, אבל לא היה הרבה טעם להתעלם לגמרי מההיבטים האמפיריים המאוד קונקרטיים של התחום: לחלום, למשל, מה אפשר היה לעשות עם במקום שעתוק ותרגום (= חיבור וכפל) היינו ממציאים לנו שינגור ותיחבוץ (= חזקות שלישוניות וכו'), פעולות פרי-דמיוננו ההופכות חומצות יסמין לחומצות במבינו. במתמטיקה, זה בדיוק מה שאתה אמור לעשות, כל עוד אתה יוצר מזה מבנה אסתטי. "התוכל להרחיב?" הרבה יותר מדי, אני חושש. דוגמה קטנה: הקירוב של משפט המספרים הראשוניים הוא לכאורה תמיד קירוב מלמעלה (כלומר, אם תשתמש בו תמיד יצאו לך יותר מספרים ראשוניים משיש באמת). קח מחשב-על - קח אפילו שניים - ונסה לבדוק זאת; אתה תתייאש והיקום יימוט הרבה לפני שתראה את זה מתהפך. אבל זה מתהפך. למעשה, ליטלווד הוכיח שזה מתהפך אינסוף פעמים. הפעם הראשונה בה זה קורה היא מספר עצום ורב; אין לי לידי את ספריי וגם גוגל לא זמין1, אבל חפש מספר Skewes או משפט ליטלווד. "וכן, מה זה פונקציית זיטא? ובכלל, מהי השערת רימן הכ"כ מפורסמת?" הום-הום. באמת עם חפוז הם, בני האדם. בהודעה הבאה, טוב? אם אשכח, תזכיר לי. "האם אתה רואה חשיבות לחקר קצב השינוי של גדלי הקבוצות הללו?" אני לא בטוח שאני מבין את השאלה - המספרים שהם גם מכפלה, גם חזקה, גם סופר-חזקה, וכו', באיזה קצב הם מדלדלים? אני מניח שקירוב גס אפשר לתת בקלות, וחישוב מדוייק יהיה קשה עד בלתי-אפשרי. זה יכול להיות תרגיל מעניין; לא נראה מאוד חשוב, אבל מה אני יודע? 1 כן - אני כותב באוף-ליין! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא קשור איכשהו לסדרת הפעולות של ארז? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קצת, בעקיפין (היא גדלה מהר יותר מכל אחת מהפעולות שלו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"במתמטיקה, זה בדיוק מה שאתה אמור לעשות, כל עוד אתה יוצר מזה מבנה אסתטי". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 211565 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה, קישור נחמד. איך אתה קושר אותו למשפט שציטטת? אם כוונתך לאסתטיקה של הוכחות נתמכות-מחשב, זו באמת שאלה מעניינת; אפשר לציין שגם בהוכחות כאלה יש חלקים "אנושיים" נרחבים, שהם לעיתים יפים מאוד. הוכחה ממוחשבת "גרידא" היא אכן לא יפה בעיני רוב המתמטיקאים, אני חושב, ולכן לא לגמרי מספקת: הם ימשיכו לחפש טובות ויפות ממנה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הקישור שלי הוא די אסוציאטיבי. זה לא שאני מבין על מה אתם מדברים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ומששב מחשבי לתפקד אוכל להודות לכל המשיבים לי עד כה. אז, מדוע באמת מספיק להוכיח את פרמה עבור ראשוניים והאם 4 חביבי מופיע מסיבות דומות לאלו שבגינם משך את תשומת ליבי? האם חתך הזהב מופיע בנדיבות רבה בעולם הטבע (קונכיות, פרחים, אנטומיה וכו') כפי שיצא לו המוניטין או שאלו דברי סרק? במידה והתשובה היא שהוא מופיע, הרי שזה הופך אותו למעניין מאד כיחידה הנדסית של הטבע, האין זאת? קבוע פלאנק, מהירות האור ודומיהן הם קבועים פיסיקאלים שכבודם במקומם מונח כקבועים מדידים, אך אין לדעתי לערבם עם המספרים e ופאי. את דלתא אני לא מכיר, מי זה? לגבי i, למיטב הבנתי הוא מאפשר להתייחס למספרים כמישור דו-מימדי של מספרים מרוכבים במקום ציר חד-מימדי של מספרים ממשיים. האם בכדי לפרוץ למימדים גבוהים יותר יש צורך בהמצאת עוד i-ים מסוגים אחרים? היש פיסיקאי שיכול לומר בקצרה מה ערכם של המספרים המרוכבים לפיסיקה? השערת רימן. (הזכרתי) אני חושב שאלך לסנתז קצת חומצות יסמין ובמבינו עכשו : ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שוב, לפני שאלון ועוזי יגיעו, אני אגניב מילה. אני מציע לך לקרוא את "חתך הזהב" של מריו ליביו, שבניגוד לכל מני ספרים דווקא לא מעריץ בצורה עיוורת את המושא שלו וטוען כי רוב המקרים שבהם טוענים שחתך הזהב "מופיע" הם קשקוש ומדידה סובייקטיבית וכדומה. דווקא בקונכיות זה לא ככה, והקשר שלו לקונכיות נובע מתוך סדרת פיבונאצ'י. אגב, אם אתה לא רוצה לערבב "קבועים מדידים" עם פאי ואי, למה אכפת לך אם חיתוך הזהב מופיע בטבע גם כקבוע מדיד? יותר מעניין מה השימושים המתמטיים שלו (שהם פחות מרובים משל אי ופאי). אני לא בטוח את הכוונה ב"ממדים גבוהים יותר". הרי אפשר להציג את המספרים בתור וקטורים של כמה ממדים שרק נרצה, כולל אינסופיים. החשיבות הגדולה יותר של המרוכבים היא שהם שדה סגור אלגברית - לכל פולינום יש את כל השורשים שלו (זה מה שמכונה "המשפט היסודי של האלגברה"). במובן הזה, שדה המרוכבים הוא שדה "טוב מספיק" בשבילנו - אין ממש איך להרחיב אותו כדי שיכיל עוד שורשים של פולינומים (ועוזי מוזמן לתקן את הטעויות הנוראיות שכנראה נפלו במשפט האחרון). יש גם מספרים קוואטרניונים, שמהווים מעין הרחבה של המרוכבים (אתה מוסיף עוד שני מספרים, j,k, עם תכונות דומות לאלו של i), אבל אני לא מכיר אותם ולא יודע מה השימושים שלהם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''חתך הזהב'' של מריו ליביו הוא ספר נורא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהזדמנות אחרת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. יחס הזהב (f, בערך 1.618, מקיים את המשוואה f^2=f+1) הוא כידוע הגבול של היחס בין מספרים עוקבים בסדרת פיבונאצ'י, ולכן הוא מופיע באופן טבעי בכל מקום שבו הסדרה הזו מופיעה (למשל: שברים משולבים). לאחרונה נתקלתי במספר הזה בהקשר פחות צפוי, במשפט שגילה סטודנט מתל-אביב. נאמר ששתי סדרות a_n,b_n של מספרים טבעיים הן "שקולות" אם ההפרש ביניהן (=ההפרש בין האיבר במקום ה-n בסדרה הראשונה, לאיבר באותו מקום בסדרה השניה) חסום. נניח ש- a_n סדרה עולה, וש- b_n היא סדרה שמקבלת ערכים שונים מאלו של a_n, פרט למספר סופי של ערכים (שיכולים להופיע בשתי הסדרות). בנוסף לזה, נניח שסדרת ההפרש a_n-b_n שקולה לסדרה n. אז a_n שקולה לסדרה f*f*n, ו- b_n שקולה לסדרה f*n. (החלק השלם, כמובן). 2. קווטרניונים: הם בוודאי יותר שימושיים מהמונה ליזה. למשל, אפשר לבנות בעזרתם יריעות קומפקטיות שאין להן (לאף שתיים מהן) מרחב כיסוי משותף מאינדקס סופי. זו ההתחלה של תאוריה מאד עשירה שקושרת את תורת החבורות לאלגברה ולגאומטריה. 3. פגשתי בשבוע שעבר מתמטיקאי מפורסם שיש משפחה של משטחים שקרויים על שמו. הראיתי לו מאמר שכתבתי עליהם, והשותפה שלי לעבודה סיפרה שהם מופיעים גם בדוקטורט שלה. תגובתו היתה: I am glad they are still useful, at least for theses.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מפתיע למדי, אבל אפילו לקווטרניונים המוזרים יש כיום שימושים ארציים עד מאוד. כל מי שעוסק באנימציה ממוחשבת, סביר שייתקל בהם איכשהו (אלא אם הוא עובד בחברה גדולה ויש לו Technical Directors בשביל דברים כאלה). הסיפור בקצרה: נניח שאתם האנימטורים של Shrek ואתם מלמדים אותו ללכת, לקפוץ, להסתובב, להביט למעלה או לסובב את האוזן, כל מיני דברים כאלה. הדרך שבה עושים זאת הוא לבצע שלל פעולות הזזה וסיבוב על חלקים שונים בגופו של ה-ogre החביב. איך מסובבים? התוכנה מראה לכם שלושה צירים, ואתם גוררים עם העכבר קצת בציר X, קצת בציר Y ואם צריך אז גם קצת בציר Z. זה נוח ופשוט, ודי קל לאחר מכן גם להביט במספרים ולהבין מה עשיתם. הבעיות מתחילות כשהמחשב מנסה לבצע אינטרפולציה בין הפוזות השונות שיצרתם. כמו שפעם האנימטור הראשי היה מצייר את דונלד-דק לפני ואחרי הקפיצה, והצייר הזוטר היה משלים את שלבי הביניים, היום המחשב הוא הצייר הזוטר: אתם רק יוצרים מה שנקרא keyframes והמחשב עושה את היתר. ואז לוחצים על play והכל נפלא חוץ מזה ששרק עושה תנועות מצחיקות עם הראש והברך שלו התהפכה אחורה. אופס. מה קרה? אה-הא! לא השתמשתם בקווטרניונים, זה מה שקרה. הפרטים (gimbal lock) לא חשובים כרגע; מה שמעניין הוא שבאתרים של אנימטורים ומתכנתי-משחקים, וגם בספרי ההדרכה של תוכנות האנימציה החשובות, מוקדשים פרקים ליסודות האלגברה של קווטרניונים. לא רק שהתוכנות משתמשות בזה לצורך הייצוג הפנימי של הדינמיקה, גם המשתמש עלול להזדקק להבין מתי מותר לו להשתמש בזוויות אוילר ומתי בקווטרניונים. אני בטוח שסר האמילטון היה מרוצה (נדמה לי שעיקר המוטיווציה שלו "להמציא את הקווטרניונים", כלומר למצוא איך כופלים רביעיות1 של מספרים, היתה גיאומטרית, אפילו פיזיקלית, ולא אלגברית). 1 הוא בעצם ניסה לכפול שלשות, ואת זה אי-אפשר: נסו פעם לסרק כדור ותראו למה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם לדעתך אפשר להיתקל בקווטרניונים במסגרת קורס לתואר ראשון, ואם כן, איזה? אם לא, איפה אתה ממליץ להתחיל לקרוא בנושא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בזמנו היה תרגיל בקורס בתכנות מונחה עצמים בטכניון שבו נדרשו הסטודנטים (ועבדך הנאמן ביניהם) לממש קווטרניונים ב-C++, ובמיוחד לממש את העמסת האופרטורים הנדרשת, אבל נראה לי שזה לא מה שאתה מחפש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במכניקה של פיסיקאים ובפרט במכניקה אנליטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב"מכניקה אנליטית" הטכניוני שעשיתי (לשווא) ב~1998 לא דובר עליהם, או שבאמת הדחקתי קשות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שבגולדשטיין יש פרק מיוחד רק על זה , בקשר לגופים צפידים. אני חושב שקווטרניונים הם בעצם מטריצות פאולי, אבל לא התעסקתי בזה שנים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשאתה כותב "גולדשטיין" אתה מתכוון ל"ברוך הגבר"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגיוני. בקורס האמור למדנו פרקים נבחרים מגולדשטיין, אבל לא את כולו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אני זוכר נכון, האוסף שכולל את מטריצות פאולי ואת מטריצת היחידה 2x2 הוא קווטרניון שמופיע לא מעט בפיזיקה קוונטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אני לא מפספס שום דבר, זה צריך להיות נכון לכל הצגה של חבורת הספין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה כמעט זוכר נכון. גם מטריצות פאולי וגם הקווטרניונים הם ספינורים, גם מטריצות פאולי וגם הקווטרניונים הם אלגברת קליפורד מסדר שני. אבל החתימה שונה. מטריצת פאולי בריבוע היא מטריצת היחידה, והקווטריון בריבוע הוא מינוס אחד. i כפול מטריצות פאולי זאת הצגה של הקווטריונים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה כמובן צודק. אפילו מצאתי את זה באיזו מחברת. האם גם ממטריצות גאמא ניתן ליצור קווטרניונים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מניח שכן. לפי http://mathworld.wolfram.com/DiracMatrices.html כל שלישיה, סיגמא או רו, מתנהגת דומה למטריצות פאולי, ולכן אפשר לבנות ממנה קוטריונים בתוספת i. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא סביר במיוחד, אני חושש. יש ספר חמוד של Conway & Guy שנקרא "The Book of Numbers", ואם אינני טועה יש בו פרק על הקווטרניונים; זה מתאים להקדמה חביבה ולא מחייבת. יש ספר רציני הרבה יותר, נדמה לי של Ebbinghaus ועוד אנשים, שנקרא פשוט "Numbers". אני מכיר אותו רק מעלעול, אבל כדאי לך לנסות, הוא נראה טוב. אם אתה אוהב תורת-המספרים, אתה צריך לקרוא את Hardy & Wright, שם מוכיחים (גם) שכל מספר הוא סכום של ארבעה ריבועים תוך שימוש (גם) בקווטרניונים. אני זוכר שבספר של Arfken על שיטות מתמטיות לפיזיקאים יש דיון בקווטרניונים, מן הסתם תלמד משם על אפליקציות מסוגים אחרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש ספר של אדלר (http://www.sns.ias.edu/~adler/) שניסה לבנות מכניקת קוונטים מעל הקווטריונים | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש לך מושג *למה* הוא ניסה לעשות זאת? (הוא לא נראה כמו טרחן כפייתי...). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן (יש לי מושג), והוא לא היחידי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מאלה שאין טעם לשאול אותם אם יש להם שעון, נכון? (רק אם בא לך, ואם אפשר במסגרת קצרצרה כזו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מצטער, פירוט נוסף יעלה לי בחשיפת זהותי. אם תרצה, אוכל לתת לך תשובה מפורטת יותר בדוא''ל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המקום הטבעי הוא קורס בתורת החוגים (אבל בשלב הזה הם מופיעים בעיקר כדוגמא לחוג לא קומוטטיבי עם חילוק). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק בתפקידם זה ראיתי אותם בקורס אלגברה מודרנית ח' בטכניון (גדי, אתה טכניוניסט, נכון?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אבל לא מברי המזל שלומדים אלגברה מודרנית ח', אלא מבחו''ש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה מאוחר מדי בשבילי, אם כי באמת שמעתי שבסמסטר אחר כן הביאו אותם כדוגמא. אבל אני מניח שבתור דוגמא מספיק לי לחפש בהרשטיין ושות'. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1 אפשר הסבר על סרוק הכדור? האם זה קשור לחוסר היכולת למפות את פני הכדור באמצעות מערכת קואורדינטות (ללא נקודות סינגולריות) יחידה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נתחיל מהשאלה השנייה: לא ממש קשור. היכולת לסרק היא שאלה עדינה יותר מהיכולת למפות עם מפה אחת (מה שאפשר למפות, אפשר בקלות לסרק, אבל החלק המעניין הוא מתי אפשר לסרק דברים הדורשים יותר ממפה אחת, שזה "רוב" היריעות). כשמנסים "לכפול" וקטורים ממימד כלשהו n, משתדלים לשמור על כמה כללים בסיסיים כמו חוק הפילוג או שימור המכפלה הפנימית. אחת מתוצאות הלוואי היא זו: קח וקטור קבוע z הניצב ליחידה (כלומר לוקטור (0, 0, ... ,1)), וכפול אותו בוקטור כלשהו x שארכו 1. את התוצאה הזז כך שבסיסה יהיה בקדקודו של x. עשה זאת לכל ה-x-ים באורך 1; תקבל סירוק של הכדור, כלומר אוסף חלק ונאה של וקטורים באורך 1 המשיקים לכדור היחידה ה-(n-1)-ממדי. דוגמה פשוטה: אם n=2, אפשר להשתמש בכפל הרגיל של מספרים מרוכבים; ניקח z=i ונקבל וקטור יחידה משיק הפונה "שמאלה" (נגד כיוון השעון) בכל נקודה על המעגל. לסיכום: *אם* יש כפל סביר של וקטורים n-ממדיים, *אז* יש סירוק של הספירה ה-(n-1)-ממדית, כלומר אוסף רציף של וקטורי יחידה משיקים לכל נקודה על הספירה. דא עקא, שספירות ממימד זוגי אי אפשר לסרק. אם יש לך שיער על כל הראש, אז כשאתה מסתרק תמיד תישאר שערה שאין לה לאן ללכת. או: בכל רגע יש נקודה על-פני כדה"א שבה לא נושבת רוח. יש לזה הרבה הוכחות; לרוב מסתמכים על משפט נקודת-השבת של בראוור, ויש הוכחה יפה של מילנור המשתמשת רק בחישוב נפח פשוט. הנה תמונה מצ'וקמקת מאוד המראה את הכדור החד-ממדי מסורק, ונסיון טיפוסי כושל לסרק את הכדור הדו-ממדי (כל החיצים הולכים פשוט מזרחה): מסקנה: אי-אפשר לכפול שלשות, חמישיות, וכו'. למעשה המצב חמור הרבה יותר: אפשר לכפול רק זוגות (מרוכבים) או רביעיות (קווטרניונים, ויש לוותר על חוק החילוף) או שמיניות (אוקטוניונים או "מספרי קיילי", ויש לוותר גם על חוק הקיבוץ). מכאן והלאה זה לא עובד בכלל; זה כבר משפט קשה, ואני יודע די מעט על ההוכחה שלו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על ההסבר הנאה. חשדתי שזו הכוונה, אבל לא הייתי בטוח. ---------- בחיי, השטויות שמעסיקות אתכם, אפשר להשתגע... :) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(המשפט על כפל של n-יות הוא של Hurwitz מ- 1898, והוא לא כל-כך קשה (=אפשר להסביר לתלמידי שנה ב' בשעור אחד)). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון! טעות שלי. המשפט הקשה שהתייחסתי אליו הוא זה שמדבר על אלגבראות-עם-חילוק באופן כללי, בלי להניח כלום על נורמות (תוצאות של אדאמס, בוט, מילנור). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פרמה: נניח שמישהו טוען בפניך שיש שני מספרים שלמים שאם מעלים אותם בחזקת 99 ומחברים, יוצא מספר שלם אחר בחזקת 99. אתה זוכר שלמדת באייל שאין שתי קוביות (חזקות שלישיות) שמסתכמות לקובייה, ומיד אתה מוכיח לו שטענתו שגויה - איך? (רמז: חשוב על חזקות-33 של המספרים שלו). מכאן תוכל להמשיך לבד... ולא, אין קשר לתכונותיו של 4, צריך רק לזכור שריבועים המסתכמים לריבוע שלם דווקא יש. חתך הזהב: ענו לך כבר; ממש לא הייתי מגדיר אותו כיחידה הנדסית של הטבע (זווית הסיבוב בין חומצות-גרעין סמוכות חשובה יותר). אין לערבב קבועים פיסיקליים ומתימטיים: נכון; כדאי גם לא לערבב הומור דלוח בתגובה קואזי-אינפורמטיבית :-) דלתא: המחשב שלך חזר לחיים עם בעייה בפונטים ביוונית? זה היה דווקא גאמא... מדובר בקבוע מתימטי המופיע פה ושם, לרוב כשיש בסביבה טורים הרמוניים. גם עליו יש ספר, של ג'וליאן האביל - למעשה, ספר מצויין, אך "כבד" יחסית לספרים מתמטיים. אם תסכם אחד ועוד חצי ועוד שליש ועוד רבע ועוד ... ועוד אחד חלקי המון, תקבל משהו קרוב מאוד ללוגריתם הטבעי של המון ועוד גאמא הנ"ל. לגבי i: שימוש במרוכבים כתיאור למישור הוא רק אחד הדברים שאפשר לעשות איתם, ולאו דווקא החשוב ביותר. בתגובה אחרת הזכרתי קצת את הקווטרניונים ככלי לתיאור סיבובים במרחב. המרוכבים מופיעים בהמון מקומות בפיזיקה - למשל, נוח מאוד להשתמש בהם לתיאור עכבה (מין התנגדות) של רכיבים חשמליים כמו סליל וקבל. דוגמה קצת יותר מהותית: לפונקציות-גל במכניקת הקוונטים יש ערכים מרוכבים, וזה במובן מסויים בלתי-נמנע. הערך המוחלט (ה"גודל") של הערכים הוא, למשל, הסיכוי למצוא חלקיק במקום נתון; היתר (ה"פאזה") היא מה שיוצר תופעות מעניינות כמו התאבכות. רימאן: מבקש הארכה. סינתוז: בהצלחה :) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
("כבד" יחסית לספרים *פופולריים*) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כבר הזכרת מספרים ראשוניים, הנה הגדול ביותר מקרבם הידוע, שנתגלה בימים אלו: http://www.haaretz.co.il/hasite/pages/ShArtPE.jhtml?... . | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כפי שציינו כאן, משפט פרמה עוסק בפתרונות למשוואה a^n+b^n=c^n כאשר n הוא מספר כלשהו; בלי שהראשוניים מופיעים בכלל בבעיה, הם נכנסים בדלת הראשית אל הפתרון: מספיק להוכיח שלמשוואה הזו אין פתרון כאשר n ראשוני (או כאשר n=4). אחד היתרונות של החיבור והכפל על פני # ו- //: הן מקיימות זהויות (למשל: a*(b*c)=(a*b)*c), ש- # לא מקיים כדוגמתן. בתור פונקציה מ"רמה נמוכה" יותר מהחיבור, אני יכול להציע את x%y=log(exp(x)+exp(y)) המקיימת ביחס לחיבור את אותה תכונה שהחיבור מקיים ביחס לכפל: (log(x*y)=log(x)+log(y.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אההה.. לא הבנתי את הפונקציה הנומכה שנתת, התוכל להסביר עם דוגמאות קונקרטיות ובשפה ליימנית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נגדיר פעולה x%y לפי x%y = log(exp(x)+exp(y)) [הסבר בשפה פשוטה: כדי לחשב את x%y, עליך להכניס למחשבון את x, ללחוץ על exp, ללחוץ על +, להכניס את y, ללחוץ שוב על exp, אז = ובסוף log. (זה יותר פשוט?)]צמד הפעולות % ו- + מקיים כל מה שמקיים הצמד + ו- * (למשל: (x%y)%z = x%(y%z), x+(y%z) = (x+y)%(x+z)). דוגמאות: 1%1=log(2). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
#95: "גם לי יש בעיה מתמטית שמוכיחה אגב את חשיבותה של התורה הזו גם בחיי היום יום! הריהי כדלקמן: בבית משותף בן 12 דירות ,צריך לגבות כסף עבור תיקון פיצוץ צינור מים בעורק הראשי של אספקת המים לבניין. 7 דירות מתוך ה-12 הן יותר גדולות בשטחן מהשאר ב- 40% כל דירה. כמה כסף בשקלים יש לגבות מכל דירה באם החישוב ייעשה באופן יחסי לשטחה של כל דירה,כאשר ההוצאה הכללית עבור תיקון הצינור היה בסכום של 2400 ש"ח ?????????" #113: "השערתי היא ש-5 מתוך 8 מגיבים הם דפ"רים, עם אייקיו השווה למספר הנעליים שלהם מינוס מספר התגובה שלהם. 2 מתוך 2 מגיבים הם משועממים בלי חיים או לחילופין בלי בן זוג, אלא אם כן הם מקיימים יחסים כמספר התגובה של זה שלפניהם חלקי מידת החזיה של אמא שלהם, במשך תקופה שבה לוקח להוכיח את השערת רימן. 1 מכל כל מספר נתון של מגיבים הוא שפוי בדעתו, ואם מעלים את מספר ההודעה שלו בחזקת 11 מקבלים את האייקיו שלו ואת מספר הטלפון של אחותו השווה (אבל צריך לנחש את הקידומת). השערת זימן אומרת שזה אני." #115: "למי שלא הבין הנה הנוסחה בקיצור 2*366+2226/1.5(22-6*91-3)כפול היחס בין הירח לשמש ולכל מערכת הכוכבים עכשיו אתם מבינים!!!!!!!!!" #125: (כותרת: "113 אתה ענק!!!") "ועכשיו ברצינות... את החומר המזויין הזה (ברובו) לומדים מהנדסים ובעיקר מהנדסי אלקטרוניקה אז שיפסיקו לזיין לנו את המוח למה אנחנו מרויחים את השכר הכי גבוה בהייטק יותר מבעלי כל תואר אחר... פותחים לנו את התחת 4 שנים עם החומר הזה (פורייה לאפלאס ודומיהם) ואח"כ עוד שואלים אותנו למה מגיע לנו שכר כזה!" ועוד הודעה מעניינת במיוחד שכתב "בולצאנו", הודעה #22: "תמיד ניסו להוכיח את זה עם משפט בולצאנו וירשטראס: תהי f פונקציה חסומה, אזי הפונקציה היא אינטגרבילית אם ורק אם קבוצת נקודות אי הרציפות הראשונית שלה היא בעלת מידה אפס. אף פעם לא הצליחו, כי יש למשפט בעיה בהתייחסותו למרחבים וקטוריים ממימדים ממעלה שניה." היי, עוזי כבר לקח את התגובות הטובות באמת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה תודה. את ההודעה המעניינת במיוחד אפשר לתייק תחת המאמר הנוכחי. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |