 |
אני ממש כותב היום שטויות לרוב. התכוונתי לזרם האינטואיציוניסטי, שבראוור היה מראשיו. קונסטרוקטיביזם יש גם אבל זה משהו אחר קצת, אני חושב.
רוב המתמטיקאים מקבלים ללא סייג את הבניות של הממשיים, כמו גם את ההוכחות שהם לא בני-מנייה וכו'. עם זאת, היו (וכנראה עדיין יש) מספר מתמטיקאים שהתעקשו שרק בניות מפורשות *וסופיות* הן לגיטימיות, וכל דבר אחר הוא מוקצה. רוב המספרים הממשיים אינם ניתנים לתיאור סופי - כאן "רוב" הוא פשוט "כולם, פרט למספר בן-מנייה". שורש שתיים, כמדומני, אינו פסול עבור האינטיאיציוניסט מפני שאפשר להסביר בדיוק מה לעשות איתו (אם מעלים אותו בריבוע, יוצא שתיים, וזה בעצם כל מה שצריך לדעת על שורש שתיים) ואף אפשר לתאר אלגוריתם סופי שמייצר מפורשות את כל ספרותיו.
מצד שני, ההוכחה של תהליך האלכסון איננה בונה מספר ממשי במפורש, ועל כן אינה קבילה. כנ"ל ההוכחה הכללית שקבוצת החזקה היא בעלת עצמה גבוהה מהקבוצה המקורית, ועוד הוכחות מסוג זה.
יתרה מזו, האינטואיציוניסטים לא קיבלו את חוק "השלישי הנמנע" לפיו או ש-A או שלא A, מפני שעבורם "נכונות" מתפרשת כ"יש הוכחה מפורשת"; על כן, הוכחות בדרך השלילה לא מקובלות עליהם: נכון, הוכחת ש(לא A) אינו נכון, אך בכך לא הראית (מפורשות) את A.
כיום, לדעתי, הנושא הזה נדון במיוחד בחוגים פילוסופיים, ולא כל כך מעסיק את המתמטיקאים עצמם (בראוור, וגם קרונקר ובמידה מסויימת הרמן וייל, היו אינטאיציוניסטים, וגם מתמטיקאים מהשורה הראשונה). לא שזה הופך את התחום ללא מעניין - דווקא יש שאלות מסקרנות מאוד בפילוסופיה של המתמטיקה שהגישה האינטואיציוניסטית רלוונטית להן.
קרונקר, אגב, היא בן-פלוגתא חריף מאוד של גאורג קנטור, אבי תורת הקבוצות, בשל גישתו האינטואיציוניסטית (שאז, נדמה לי, עוד לא קראו לה כך).
|
 |
RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש