בתשובה לאלמנה ויתום, 29/05/04 0:24
אוקי :-) 221960
אלון עמית • בתשובה לאלמנה ויתום שבת, 29/5/2004, 5:37
בהחלט - זה העוקץ של החידה.
זנון קם לתחיה 222742
סנוקריסט • בתשובה לאלון עמית יום ג', 1/6/2004, 17:13
אתה באמת מבריק (אני מתכוון לזה), אבל לצערי אתה טועה פה ובגדול.
מכיוון שאין פה איבוד אנרגיה, למעט בשל כח הכבידה, חישוב המהירות ההתחלתית שיש לתת לכדור הוא די פשוט.
משתמשים בחוק שימור האנרגיה(מקינטית לפוטנציאלית), מציבים את h (למסה אין חשיבות וכן לא לאורך המדרון) ומקבלים את המהירות ההתחלתית שצריך להשקיע.
אבל זה לא מה שמבקשים פה. מה שמבקשים זה הזמן. הזמן תלוי בדרך ובתאוצה (פה הטעות של סירס זימנסקי, דרך אגב - הדרך בהחלט חשובה). אם היה מדובר במדרון ישר, החישוב היה די פשוט. אם מדובר במדרון עם שיפוע משתנה, החישוב הופך למסובך הרבה יותר. בכל מקרה הזמן הוא סופי !
בנוגע לטיעון שאתה הצגת, הוא הוצג לפני הרבה זמן על ידי היוונים. יש הרבה פרדוקסים שעוסקים בשאלה הזאת. הקץ' בטיעון שלך הוא שאתה מתעסק בגדלים ששואפים לאפס. אני לא צריך לחדש לך שסדרות אינסופיות יכולות להתכנס למספר סופי בהחלט, והוא המקרה כאן.
זנון קם לתחיה 222747
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לסנוקריסט יום ג', 1/6/2004, 17:31
אבל הטיעון המוחץ הוא הרברסיביליות של חוקי המכניקה. אם הכדור נמצא במנוחה בראש הגבעה (בתסריט בו חץ הזמן מתהפך) הוא לא יזוז לשום מקום, ולפיכך השתלשלות הדברים המתוארת החידה לא יכולה להתרחש בזמן סופי.

כמוך, גם אני בטוח שאלון יודע על טורים מתכנסים. כידוע, לא כולם כאלה.
זנון קם לתחיה 222755
סנוקריסט • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ג', 1/6/2004, 17:47
מה עניין שמיטה להר סיני ?
כל האנרגיה של הכדור הפכה לפוטנציאלית. לצערו של הכדור, או לא לצערו, הוא נמצא במצב שיווי משקל. מהירותו האופקית היא אפס ומתחתיו יש אדמה ולכן הוא ימתין שם עד שאלון יניד אותו קלות.
תחשוב שבמקום ההר יש במקום בו היה צריך שיא ההר, נקודה בודדת. האם אתה מסכים איתי שהייתי יכול לזרוק את הכדור בצורה כזאת כך שהוא היה נושק לנקודה הזאת מלמעלה במהירות 0 ? ההר עצמו הוא סתם תוספת ותו לא (האמת שהוא משמש ליצירת הכח המאיט לכיוון X - אבל זה לא שייך)
זנון קם לתחיה 222757
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לסנוקריסט יום ג', 1/6/2004, 17:58
לא, אני לא מסכים איתך. זה כבר נדון כאן בהודעות קודמות: כדי שהכדור יגיע לראש ההר עליו להיות בעל מהירות אופקית כלשהיא (קטנה, אבל חיובית) בסביבה הקרובה של הפסגה, מקום שם נגזרת הגובה הולכת ומתאפסת, ואז מה יעצור אותו בדיוק בראש הגבעה? התשובה היחידה: הפרה שעומדת שם. אבל בחידה של אלון הפרה הלכה לגבעה אחרת.

ושוב: חשוב על היפוך הסרט, זה מסביר את מה שחייב להתרחש טוב יותר מנגזרות ואפסילונים (אלא אם כן שמך הפרטי הוא עוזי. במקרה זה האפסילונים הם ההסבר והסרט ההפוך הוא מסקנה).

אם אתה עדיין לא משוכנע, אלון עצמו בטח ייטיב ממני להאיר את עיניך.
זנון קם לתחיה 222773
אייל מולד(ר) • בתשובה לסנוקריסט יום ג', 1/6/2004, 18:38
בוא נחשב:
h=הפרש הגובה של הכדור משיא ההר (בנקודה נתונה).
x=המרחק האופקי בין הכדור לשיא ההר (בנקודה נתונה).
כפי שציינת המהירות בכל נקודה זה קבוע כפול שורש h.
מכיוון שההר חלק, שיפועו שואף לאפס. ולכן x/h שואף לאינסוף. בוודאי שהזמן שנותר עד השיא > מ-x מחולק במהירות הנוכחית (שרק תפחת) = קבוע כפול שורש h.
בקיצור, בניסוח סיזיפי - אם ניקח דגימות, נגלה שקיבלנו סידרה של מספרים עולים השואפת לאינסוף (באותו קצב שהשיפוע של ההר שואף לאפס). הזמן עד שיא ההר הוא לפחות הגבול של הסידרה הזו.
מי העיר את זנון? 222808
אלון עמית • בתשובה לסנוקריסט יום ג', 1/6/2004, 22:24
חישוב המהירות ההתחלתית הוא אכן חשבון פשוט, אך כפי שציינת לא רלוונטי כלל.

מדוע "בכל מקרה הזמן הוא סופי!"?

חוששני שאין כל קשר בין הפרדוקסים של זנון לנימוק שהבאתי, או בכלל לחידה הזו. סדרות אינסופיות (ואולי רצית לומר: טורים אינסופיים) יכולות בוודאי להתכנס למספר סופי. אז? איך זה קשור לשאלה? האם הנימוק שהצגתי הוא מהסוג "הנה טור אינסופי, ולכן התשובה היא אינסוף"?

אולי אשאל אותך כך: תהי v0 המהירות ההתחלתית הקריטית, זו שמאפשרת לכדור להפוך את כל האנרגיה הקינטית שלו לאנרגיה פוטנציאלית וכך להגיע לפסגה ללא שריד של אנרגיה קינטית - היינו, במנוחה. הסכמת שיש מהירות קריטית כזו.

נניח שהמהירות ההתחלתית גבוהה מ-v0 רק במיליארדית מטר לשנייה. זה יגרום לכדור להגיע לפסגה במהירות זו. מילימטר אחד לפני הפסגה, מה היתה מהירותו? דומה מאוד לזה, שכן התאוטה באיזור הפסגה היא קטנה. נניח, בכל זאת, שמהירותו מילימטר קודם היתה גבוהה *פי אלף* - לא ממש סביר - כלומר, היא היתה מיליונית מטר לשנייה. כמה זמן לקח לו לעבור את המילימטר האחרון? בערך 20 דקות, ולמעשה יותר שכן הוא מאט. ואילו התחלנו במהירות גבוהה רק בעשר בחזקת מינוס 20 מ-v0? מה יקרה אז? מה ההתנהגות של הזמן, בקיצור, כפונקציה של e, אם המהירות ההתחלתית היא vo+e?

התשובה היא: כש-e שואף לאפס, הזמן עד לפסגה שואף לאינסוף. אין כאן פרדוקס או קץ', ואיני רואה מה הבעייה עם העובדה שאני מתעסק בגדלים ששואפים לאפס. זו עובדה מתמטית פשוטה.
מי העיר את זנון? 222886
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאלון עמית יום ד', 2/6/2004, 9:02
ואללה, איך ידעתי שהיצור המאוס ההוא מאינפי א', אפסילון, ירים את ראשו המכוער ויאמר את דברו. אם הדיון לא יגווע כאן, אני מחכה בחרדה גם להופעת בת זוגו המעצבנת לא פחות, ''ני''.

אני עוד זוכר שעל הניסוח ''עבור כל אפסילון קטן כרצוננו'' ענה מישהו ''תוציא את הרצון שלך מהמתמטיקה''.
!Bring us... a shrubbery 222908
אלון עמית • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ד', 2/6/2004, 10:29
ני! ני! ננננני!

(סתם, שהחרדה תבוא ותחלוף מהר)
!Bring us... a shrubbery 222927
דורון הגלילי • בתשובה לאלון עמית יום ד', 2/6/2004, 12:05
היה צפוי שאם מתעסקים ביוונית יגיעו יחדיו פסי וידידו חי.
מי העיר את זנון? 223278
סנוקריסט • בתשובה לאלון עמית יום ה', 3/6/2004, 17:31
אתה צודק ואני טועה.
מי העיר את ראסל? 223501
אורי גוראל גורביץ' • בתשובה לאלון עמית יום ו', 4/6/2004, 15:55
אם יורשו לי כמה השגות, לא על הפתרון עצמו, אלא על דרך ההוכחה. נקווה כי לא יחשב לי, בן נעוות מרדות שכמותי, לחוצפה יתרה לחלוק על דברי זקנים ממני. למעשה, מאחר שלרוב אני טועה, הרי שבדברי כנגד אלון נמצאתי מחזק את דבריו.

הטיעון האפסילוני המופיע בתגובה מעלי שגוי. איזו סיבה יש להניח שהמהירות מילימטר לפני הפסגה _לא_ תהיה פי אלף או קוואדזיליון יותר מאשר המהירות בפסגה?
ליתר דיוק אם במרחק x מהפסגה המרחק האנכי מהפסגה הוא h
אזי מהירותי תהיה
v=c*sqrt(h)
לכן החסם הטריויאלי לזמן יתן
t=x/v=x/(C*sqrt(h)
ההנחה שלפסגה שיפוע אפס נותנת לנו רק ש
x/h
שואף לאין סוף, אבל
x/sqrt(h)
יכול להיות חסום ולמעשה אף לשאוף לאפס. למעשה אם נבחר את הפונקציה
h=x*sqrt(x)
הרי שחישוב יתן לנו שאכן כדור יכול לטפס על גבעה כזו בזמן סופי. אליה וcatch בה - הגבעה הזו אינה גזירה פעם שניה באפס. הנחה שלדעת הוגה החידה היא בלתי סבירה פיזיקלית.

גם טיעון היפוך הזמן נשען על כרעי תרנגולת מתימטית דומים.
כדי שהטיעון יחשב (מתימטית) צריך להשתכנע כי למערכת הדיפרנציאלית הנ"ל יש פתרון יחיד. בלי גזירות שנייה של הגבעה זה לא חייב להיות. אם אין פתרון יחיד, מה אכפת לי שיש פתרון בו הכדור נשאר במקום?

אין לי כח להסברים נוספים, נתתי כאן מספיק חומר לאלון לעשות ממני חוכא ואיטלולא לשבועיים הקרובים.

אורי.
מי העיר את ראסל? 223609
אלון עמית • בתשובה לאורי גוראל גורביץ' יום ו', 4/6/2004, 20:44
על "זקנים ממני" מגיע לך באמת עינוי סיני חפוז כעונש, השאר דווקא לא כזה גרוע.

ככה: ה"טיעון" עם האפסילון לא התיימר להיות טיעון, רק להסביר מה בעצם הטענה ולנסות להראות שהיא לא כזו בלתי-סבירה. אתה צודק שההנחה על התאוטה בסוף לא היתה מוצדקת, אם כי צריך קצת להתאמץ (כמו שעשית) כדי למצוא מצב בו העדינות הזו חשובה.

לגבי טיעון היפוך הזמן, אתה במצב קצת פחות מוצלח לדעתי. בהחלט ישנן סיטואציות מתמטיות שבהן למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון אין פתרון יחיד גם בהינתן תנאי ההתחלה, והדוגמאות מוכרות. אבל כאן דווקא סביר להתחשב קצת בסבירות הפיסיקלית, שבהקשר הקלאסי הנוכחי אומרת שתנאי ההתחלה אכן קובעים את ההתנהגות, וכדור היושב על מקומו לא ייזכר פתאום שלמשוואה המתארת את תנועתו יש עוד פתרון אז יאללה נוסעים. אתה צודק - זה נימוק *פיסיקלי*, במסגרת השגרתית בה פיסיקאים מניחים שכל הפונקציות הנדונות גזירות מספיק פעמים.

שאלה לגיטימית: ממילא המצב המתואר אינו ממש פיסיקלי מסיבות שהזכרנו קודם (חום וכאלה), אז למה ההפשטה המתמטית שתארתי היא בסדר והצעד הנוסף שאתה מאפשר הוא לא? אין כאן תשובה חד-משמעית, לדעתי. מודל תמיד תופס חלק מהסיטואציה ומתעלם מחלקים אחרים, ובמקרה דנן נראה לי שפיסיקאי ממוצע יקבל את הקירוב של גבעה מתמטית חלקה, מהירויות קרובות מאוד לאפס, וכו', אך ידחה כלא רלוונטיות דוגמאות של גבעה גזירה פעם אך לא פעמיים.

אם אתה באמת רוצה שאעשה ממך חוכא ואטלולא, תתאמץ יותר.
אין פיסיקאים ממוצעים 223611
אלמנה ויתום • בתשובה לאלון עמית יום ו', 4/6/2004, 20:53
אבל אם היו, הם היו מקבלים כמובנת מאליה את ההנחה שהגבעה חלקה על כל נגזרותיה. בעלי, הפגר, טען שנים שאין בכוונתו לעלות על סולם ולהחליף נורה בסלון, משום שבמבחן במכניקה קלאסית א', הסולם החליק עד שהתנתק מהקיר.
אין פיסיקאים ממוצעים 223617
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאלמנה ויתום יום ו', 4/6/2004, 21:37
נו, ובסוף הוא השתכנע, הסולם החליק ואת זכית למעמד המשפחתי הנכסף?
אין פיסיקאים ממוצעים 223620
אלמנה ויתום • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ו', 4/6/2004, 21:47
לא, הוא מת תוך כדי נסיון נואש במיוחד להוכיח ש 196 לא הופך לפלינדרום כשהופכים אותו ומוסיפים אותו לעצמו מספר סופי של פעמים.
אין פיסיקאים ממוצעים 223623
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאלמנה ויתום יום ו', 4/6/2004, 21:49
קבלי את תנחומי. אני מתאר לעצמי שאת ממשיכה את פועלו.
אין פיסיקאים ממוצעים 223632
האייל האלמוני • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ו', 4/6/2004, 22:23
להפך, פועלו החתיך ממשיך אותו, לאחר שהתחתן עם האלמנה המאושרת.
אין פיסיקאים ממוצעים 223644
אלמנה ויתום • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ו', 4/6/2004, 23:33
לא ממשיכה. אני כאמור בעסקי המטריצות הגדולות להחריד בימים אלו (וגם לא מספיק דלילות, לצערי, קשים חיי אלמנה). כשתפסתי את היתום קורא את ''הדוד פטרוס והשערת גולדבך'', הענשתי אותו חמורות. אני מקווה שזה יעזור.
אין פיסיקאים ממוצעים 223634
יובל נוב • בתשובה לאלמנה ויתום יום ו', 4/6/2004, 22:29
למה לא קנית לו כזה ליום-ההולדת?
זקנים ממני.. 223647
אורי גוראל גורביץ' • בתשובה לאורי גוראל גורביץ' שבת, 5/6/2004, 1:03
למען האמת רציתי לכתוב ''זקנים וחכמים ממני'' אבל פסלתי אפשרות זו על הסף מפאת חנופתיותה.
מי העיר את ראסל? 223724
הקשה המקשה • בתשובה לאורי גוראל גורביץ' שבת, 5/6/2004, 20:57
סימטריית היפוך הזמן היא תכונה של המשוואות בבעיה הנתונה, ללא תלות בצורת הגבעה. לכן גם הפתרונות הנוספים, אם קיימים, מצופים לתאר תחת היפוך זמן תנועה לגיטימית של כדור המתדרדר במורד הגבעה (פתרונות קבילים מבחינה פיסיקלית של משוואות המתארות מערכת פיסיקלית מסוימת, כמעט תמיד ‏1 מהווים אינדיקציה לקיומם של אפקטים תואמים). בוא נניח שקיימת גבעה העונה על תנאי הבעיה, שיש לה פתרון בו הכדור מגיע לראש הגבעה ונעצר שם בזמן סופי. אם העצירה אינה רגעית, הרי שהפתרון ההפוך בזמן יתאר כדור המתחיל לנוע מעצמו. אם העצירה רגעית, עדיין הפתרון ההפוך בזמן צריך לתאר כדור שהתדרדרותו מתחילה ממצב בו המהירות והתאוצה מתאפסות. אם נסמן את רגע תחילת התדרדרות זו ב- t0 , הרי שבזמן הקטן מ- t0 הפתרון הטריוויאלי שבו הכדור נמצא במנוחה מתמשכת הוא פתרון לגיטימי של משוואת התנועה שמקיים את תנאי ההתחלה ב- t0 , וניתן לתפור אותו לפתרון ב- t0<t כדי לקבל פתרון לגיטימי נוסף שהנגזרת השניה שלו רציפה. פתרון חדש זה, מתאר אף הוא כדור היוצא משיווי משקל בצורה ספונטנית.

‏1 ואולי אף תמיד.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות