בתשובה לצב מעבדה, 02/05/04 0:10
 |
|
 |
||
|
||||
 |
תודה. ואני מבטיח לעדכן מעל דפי מאמר זה אם יקרה משהו דרמטי בקשר לאחת הבעיות הפתוחות. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה שהדיון המסוים הזה הפך לצ'ט-רום של כל קהילת האיילים. אני משוטט בו לפעמים ומתעדכן בהגיגים בני שנה ויותר, ועל כן אל נא באפך על כך שאני מרהיב עוז להגיב על פוסט שלך מלפני 9 חודשים : תגובה 163991. לא היכרתי את הפטנט הזה לסימן חלוקה ב7 ולכן שיחקתי איתו קצת, ואלא אם כן טעיתי טעות מביכה ממש - נדמה לי שיש בידי הכללה של השיטה שלך, שנותנת סימן חלוקה בדיוק מהטיפוס שטענת שלא קיים (קומבינציה לינארית של הספרות). עבור מספר בן 3 ספרות x,y,z, כלומר 100x+10y+z) מספיק לבדוק חלוקה ב7 של x-2y+4z עבור מספר בן 4 ספרות, מספיק לבדוק חלוקה ב7 שלx-2y+4z-8w או בצורה פחות סימטרית אבל יותר נוחה חישובית:x-2y+4z-w רק עוד דוגמה אחת: עבור 6 ספרות מספיק לבדוק את -x-2y+4z-8w+16u-32v, או לחילופין x-2y+4z-w+2u-4v (שוב, שני הביטויים זהים מודולו 7) מקווה שהביטוי הכללי ברור - אני מוותר מראש על הסיכוי לרשום אותו כאן ובוודאי את ההוכחה (אפשר לצרף כאן PDF או פורמט אחר?). אני חושד שדוקא כן אפשר לומר משהו כללי יותר, בסגנון - "לכל ראשוני p אפשר למצוא תבנית של קומבינציות לינאריות ב-n ספרות, כך שהתחלקות מספר בן n ספרות ב-p שקולה להתחלקות הקומבינציה ה-nית של ספרותיו". לא ברור לגמרי מה אני מחפש (ה"תבנית" של הקומבינציות במקרה p=5 שונה באופן מהותי מה"תבנית" במקרה p=7, ובכלל, מה זה תבנית?), אבל אולי אפשר לעשות מזה מתימטיקה. מבטיח לנסות ולעדכן, ואשמח גם לדעות אחרות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנוסחאות צריכות להיות z+3y+2x, w+3z+2y-x ו- v+3u+2w-z-3v-2y, בהתאמה. מספר הקסם n שאתה מחפש קיים, והוא תמיד מחלק את p-1. אפשר למצוא עוד על הנושא בפרק IX של An Introduction to the Theory of Numbers מאת Hardy & Wright. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאנחנו לא מדברים על אותו דבר. לא שיערתי שקיים n "מספר קסם" עם איזו תכונה מיוחדת. שיערתי (ובמובן מסוים, אלון הבהיר שאכן) שקיימת סדרה של סימני חלוקה ב7, במובן: לכל n, קומבינציה לינארית על n ספרות, שהתחלקות שלה ב7 שקולה להתחלקות המספר המקורי (בן n הספרות) ב-7 . יותר מזה, שיערתי שיש איזושהי "תבנית" או הגיון בסדרה. אלון הראה שתמיד ניתן למצוא סדרה כזו עם מחזור סופי (קטן מהמחלק). "תבנית" נעימה הרבה יותר יכולה להיות איזשהי תבנית במקדמים 1, 0, -1 בלבד . (it's a long shot, אבל ברור לי שאני אישית אוכל להשתמש רק בסימן חלוקה פשוט ברמה כזאת) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא תמצא תבנית שהמקדמים היחידים שמופיעים בה הם 0 ופלוס-מינוס 1, אלא אם המחלק הוא 9 או 11. מספר הקסם שאליו התייחסתי הוא אורך המחזור של מקדמי הסדרה. אם המחלק p שלך (7, למשל) אינו מתחלק ב- 2 או ב- 5, אז סדרת המקדמים אכן מחזורית, ואורך המחזור הוא המספר הקטן ביותר של תשיעיות כך ש 9...99 מתחלק ב- p. אם p ראשוני, המספר הזה מחלק את p-1 (למשל, 999999=7*142857). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק לטובת האיילים המשתרכים בסוף העדר, למה לא נמצא תבנית שהמקדמים היחידים בה הם אפס/פלוס מינוס 1 ? (לא מחפשים תבנית שזהה מודולו p למספר, אלא תבנית שמתאפסת מודולו p אם ורק אם המספר מתאפס מודולו p ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם מחפשים תבנית שנותנת את אותה שארית, אז המקדמים נקבעים (מודולו המחלק p) באופן חד ערכי. דרגת החופש הנוספת מאפשרת להכפיל בקבוע מודולו p (שבעצמו יהיה זר ל- p), ולכן שומרת על שוויון בין המקדמים (גם אם לא על המקדמים עצמם). בפרט, אם לכתחילה המקדמים שווים עד כדי סימן, אפשר יהיה לשפץ את התבנית כך שהמקדמים יהיו פלוס או מינוס אחת; ואם לא - אז אי-אפשר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק, כמובן, והטענה שזרקתי שם היא כמובן טפשית. כמובן שהמספר המיוצג ע"י הספרות abcde יתחלק ב-m אם ורק אם הצירוף הלינארי 10000a+1000b+100c+10d+e מתחלק ב-m, שהלא צירוף לינארי זה הוא המספר עצמו. זה בוודאי לא זכאי לתואר "סימן התחלקות", אבל כעת אפשר גם להחליף כל אחת מחזקות ה-10 הללו בשארית שהיא משאירה מודולו m, וכך לקבל צירוף לינארי שמקדמיו קטנים מ-m בלי קשר לאורך המספר. למשל, עבור m=7, החזקות של 10 משאירות שארית1 = 1 mod 7 וכן הלאה (כדי לחשב את המספר הבא לא צריך לנסות לחלק 100,000 בשבע, מספיק לקחת את ה-4 הקודם, לכפול ב-10, ולבדוק את השארית בחלוקה ל-7). לכן אפשר לבסס סימן התחלקות ב-7 על הצירוף10 = 3 mod 7 100 = 2 mod 7 1000 = 6 = -1 mod 7 10000 = 4 mod 7 4a-b+2c+3d+e ודבר דומה אפשר לעשות לכל מחלק m.ברור, אם כן, שהכוונה ב"סימן התחלקות" היא לתהליך פשוט שאינו דורש לזכור קבועים רבים. ל-3, 9 או 11, התהליך שתיארתי כעת מוביל מיד לצירופים הפשוטים המוכרים, כי ל-11 למשל מתקיים שחזקות ה-10 משאירות שארית 1 ומינוס 1 לסירוגין. למחלקים אחרים מקבלים משהו פחות נחמד (אם כי בכל מקרה סדרת המחלקים תהיה מחזורית). הטריק של החלוקה ל-7 אותו הזכרתי שם הוא פשוט כזה שעבורו מספיק לזכור "מקדם" אחד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסכמה הכללית שתיארת היא אכן הכללה של סימני ההתחלקות המוכרים עבור 2,3,5,9,11, -אבל- לא עבור סימן ההתחלקות שתיארנו ל7. בסימן זה, ה"עוגן" הוא דוקא הספרה הגבוהה, ומקדמי הקומבינציה הלינארית הרלבנטית (אחת מני רבות, כמובן), הם: ... 4-, 2, 1-, 4 , 2- , 1 וחוזר חלילה, החל _מהמקום הגבוה_. לב העניין הוא שאנחנו לא מחפשים באמת קומבינציה לינארית של הספרות שזהה מודולו 7 למספר המקורי, אלא קומבינציה שמתאפסת מודולו 7 אם ורק אם המספר המקורי מתאפס מודולו 7. כשזו המטרה המוצבת, ארסנל הפעולות הרלבנטיות על הקומבינציה מתרחב בהרבה - מותר להכפיל ולחלק בכל מספר שאינו מתחלק ב7. בכל אופן, מה שאמרת באמת סוגר עניין לגבי עצם הקיום של "תבנית" עבור מקדמי הקומבינציה. ושאלה אליך בתור האב המייסד של הדיון המסוים הזה ,ואחד מאושיות האיילות (לקרוא עם שורוק) בכלל: פורום התגובות כאן הוא במה נאותה לדיון כזה, או שעדיף להמשיך במייל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא נראה לי שיש למישהו בעייה עם דיונים כלשהם תחת המאמר הזה, בפרט לא דיונים הנוגעים למתמטיקה (או לטרחנות כפייתית). אני לא אחד העורכים, כמובן, ואם נגזים בטח יגידו משהו, אבל כבר ראיתי פתילים הרבה יותר אוף-טופיקיים מזה. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |