בתשובה לרון בן-יעקב, 26/12/03 21:54
 |
|
 |
||
|
||||
 |
זו פרשנות מעניינת, אבל אינני סבור שהיא מתאימה כאן. כדי לוודא זאת שבתי וקראתי כמה חלקים רלוונטיים מתוך "A Mathematician's Apology", ואני רק יכול לשוב ולהמליץ על הטקסט הזה. מצד שני עלי לסייג משהו שאמרתי למעלה: הארדי במפורש מתנגד לגישה המפארת את המתמטיקה *בשל* היותה לא שימושית. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
רציתי להפנות את תשומת ליבך לתגובתו של יובל נוב תגובה 187860 אני חושב שקראתי את הספר בעברית (המחבר הוא מרכוס דה סוטוי אאל"ט) ובניגוד ליובל אני חושב שהספר דוקא טוב ומעניין. אפשר לשער הסתייגויות של מתמטיקאים מקצועיים מנסיונות לתאר את המתמטיקה לא בשפה המתמטית. נכון שהספר מקפיד מאוד (אולי יותר מדי) לא לגלוש להסברים מתמטיים, אבל זוהי גם מעלה של הספר. הספר נותן תאור מרתק ונלהב (גם אם הוא בהכרח שטחי מבחינה מתמטית) של השערת רימאן והקשר שלה למספרים הראשוניים. גם ללא מתמטיקה יש בספר אינפורמציה מעניינת לרוב ובפרט שהיא נוגעת לנושא הדיון הזה כולו (טרדנים כפייתיים וגו'). א. המסופר שם אמנם אינו רלאבנטי לגבי המרכז של טיעונך נגד הכפייתיים (שהוא אם אני מבין נכון שגם מתמטיקאי קונפורמיסט במיוחד הצמוד לפורמליזם ולמוסכמות של האקדמיזם המתמטי מסוגל להבחין בין מתמטיקה של ממש ליריד ההבלים שרוקחים רוב רובם של הכותבים הלא-קונפורמיסטים). ב. מצד שני הוא כן רלאבנטי למידת הקושי שיש באבחנה הזו. ב.1. עצם העובדה שמתמטיקאים מקצועיים ובעלי מעמד כשלו מול עבודתו של רמנוג'ן והעובדה של"נון-קונפורמיזם" ולניתוק של רמנוג'ן מן השיח המתמטי של קיימברידג' היה חלק מהותי בכשלון הזה , מרמז שהאבחנה הזאת אינה קלה כל כך. ב.2. מן הצד השני, גם נטייתם של מתמטיקאים "אמיתיים" הן למתיחות ומעשי קונדס והן לתימהונות והפרעות נפשיות יכולה להקשות על האבחנה מן הכיוון השני. (אני זוכר שאתה אינך מסכים לעניין ה"תימהונות וההפרעות", אבל הספר מכיל כמה דוגמאות מרתקות ל-2 הוריאנטים. לא אביא אותן כי לבטח אבלבל בין 2 הוריאנטים). ג. לגבי נושא הישימות של המתמטיקה הטהורה, אאז"ן גם מרכוס דה סוטוי מציין שבכל דיון על הישימות הזאת צץ עניין המפתחות הציבוריים של הלמן-דיפי וה-RSA. מה שמרמז שזו לא רק הדוגמה הטובה ביותר אלא אולי גם היחידה. בכל זאת אני חושב שלטענות נגד הציטוט של הארדי יש על מה להתבסס מעבר לעניין ההצפנה. הנסיון לטעון שאפשר להבחין בין מתמטיקה תאורטית שעשוייה להתגלות כבעלת יישומים לבין כזאת שלעולם לא יהיו לה יישומים נראית לי נועזת יתר על המידה וסותרת את הנסיון ההיסטורי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. אין לי ממש טיעון "נגד הכפייתיים" (אנחנו לא בדיון ההוא, אגב, אבל מילא. יש שם די והותר). כתבתי פעם שמטרת דיון 1571 היתה לספר קצת על השיטה המתמטית ומהותה, באמצעות תיאור הכשלים של אלה שאינם מבינים אותה. עם זאת, אני באמת סבור שברוב מכריע של המקרים, האבחנה בין טיעונים אמיתיים להבלים היא קלה מאוד. ב. 1. אני לא חושב שראמאנוג'ן הוא דוגמה טובה כל כך. שני מתמטיקאים בריטיים לא זיהו את הערך בעבודתו, אבל אני בטוח לגמרי שהם פשוט לא ניסו לקרוא ברצינות את כתביו. הראשון שניסה - הארדי - זיהה בקלות שיש שם תגליות של ממש. הרקע לפספוס איננו מתמטי, הוא סוציולוגי: מתמטיקאי מכובד מקבל מכתב מאלמוני חסר מעמד היושב בהודו וכותב בצורה מבולבלת. מכתבים מסוג זה אינם כה נדירים (יש הרבה תגובות אפילו באתר זה המעידות על כך), ולרוב האנשים אין מוטיבציה לקרוא אותם בכלל. אני חושב שזהו נס שהארדי ניסה. בקיצור, אני עדיין סבור שאם קוראים בזהירות טקסט מתמטי אמיתי, טקסט טרחני אמיתי וטקסט מהסוג הנדיר המכיל מתמטיקה טובה אך כתוב בידי מישהו שאינו מומחה, אפשר כמעט תמיד לזהות נכונה לאיזה סוג הטקסט שייך. ב. 2. אני בטוח שזה קורה, אבל שוב, זה נדיר מאוד. אני דווקא סקרן לשמוע את הדוגמאות שדה-סוטוי מציין. ג. אני בטוח לגמרי שאין דרך לדעת לאילו תורות מתמטיות יתגלו בעתיד יישומים - יש, כמו שאמרת, הרבה דוגמאות היסטוריות מפתיעות. אבל לא זו הטענה של הארדי. כמו שאני מבין אותו (וכך אני גם חש בעצמי), הוא דיבר על עניין אסתטי גרידא: מתמטיקה מרתקת אותו ללא שום קשר לישימות שלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב. 1. "ראמאנוג'ן ... הרקע לפספוס איננו מתמטי, הוא סוציולוגי ..." - אבל זוהי בדיוק הנקודה: כל השרלטנים ומבלבלי המוח טוענים שה"ממסד הממתמטי" לא מסוגל להבין את טיעוניהם משום שהוא כבול בפורמליזם אקדמאי קפוא ומיושן ואילו הם נון-קונפורמיסטים המשוחררים מכבלים אלו. העובדה שמתמטיקאים התקשו מול "מכתביו" של ראמנוג'ן (כולל הארדי וליטלווד שסברו בתחילה שהמדובר במתיחה. תאר לעצמך שהוא היה שולח את מכתביו לפירסום מתמטי כלשהו) בגלל שהוא היה כל כך מנותק מן השיח של קיימברידג' ושאר המתמטיקה המערבית, מרמזת שלפחות בטענה הזו של ה"כפייתיים" יש משהו. ב. 2. "דוגמאות שדה-סוטוי מציין" - אני מצטט מן הזכרון. אם אשבש יותר מדי, אני אחזור לספר. לגבי מתיחות והלצות מסופר על מתמטיקאי (בומביירי שמו אני חושב) שפרסם כי השערת רימאן הוכחה בתור מתיחה של 1 באפריל. כן מסופר על מתמטיקאי אחר שלפני הפלגה באוקיינוס האטלנטי השאיר מכתב לפתיחה במקרה שהספינה תטבע ובו טען שהוכיח את ההשערה (אפרופו המשפט האחרון של פרמה). לגבי מוזרויות והפרעות נפשיות מוזכרים גדל ונאש וכן מתמטיקאי צרפתי בן המאה ה-20 מן העוסקים בהשערת רימאן (שמו פרח מזכרוני) שהחל מפציפיזם קיצוני וגלש לחלוטין אל תחום הניו-אייג' והאזוטריות. לגבי סתם התנהגות תמהונית הוא מזכיר את סלברג, הילברט (תמימותו והניתוק שלו מן המציאות הפוליטית שסביבו). בעקבות קריאת הערותיו של הפיזיקאי פיינמן על עבודתו בפרוייקט מנהטן, הייתי בהחלט מאפיין אותן כתמהוניות למדי. ג. "מתמטיקה מרתקת אותו ללא שום קשר לישימות שלה" - בנקודה זו אין בינינו מחלוקת. מרכוס דה סוטוי בספרו טוען שהמתמטיקה הגרמנית של גטינגן תפסה את עמדת הבכורה מן המתמטיקה הצרפתית של פריס בגלל שזו היתה צמודה מדי ליישומים הנדסיים ובעיקר צבאיים ודחתה עיסוקים במתמטיקה טהורה. (המוסדות המתמטיים של צרפת הוקמו או לפחות בוססו ע"י נפוליאון במטרה המוצהרת לשרת את הצרכים האימפריאליים של צרפת). דוקא המתמטיקאים הגרמניים שחיו במדינה שהיתה מפוררת מבחינה מדינית היו חופשיים לנפשם לעסוק במה שרצו וכך קמה המסורת המפוארת של לייבניץ-אוילר-גאוס-רימאן והילברט. (למעשה המתמטיקה הגרמנית דוקא פרחה בפרוסיה ובאזורי ההשפעה שלה, אבל גם שם היה למתמטיקאים חופש אקדמאי גדול ללא השוואה עם צרפת). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא נראה לי שחלקם של המטורפים בקרב המתמטיקאים גדול במיוחד מחלקם באוכלוסיה. נעשה מחקר בנושא? גדל ונאש זה טוב ויפה, אבל הם "החשודים המיידיים". כמו שבכל דיון על יישומים של תורת המספרים מדברים על RSA, כך גם בכל דיון על טירופם של המתמטיקאים מדברים על נאש. אגב, מה תמהוני בהערות של פיינמן? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פרלמן עושה רושם של קצת תמוי. על ארדוש אני לא מדבר בכלל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי קצת הגזמתי כאשר הסקתי מן ההערות (שתיכף אביא) של פיינמן על תמהונות כללית, אבל ההערות באמת נראות קצת ילדותיות ולא-חכמות בפרט מפיו של מדען כל כך גדול. פיינמן מתיחס להיבט המוסרי של עבודתו בפרוייקט מנהטן. הוא מצדיק את הצטרפותו לפרוייקט בצורך להקדים את גרמניה הנאצית במרוץ לנשק האטומי (וכאן אולי מדבר היהודי שבפיינמן). בנוסף הוא אומר שברגע שגרמניה נכנעה היה צריך להפסיק מייד לעבוד על הנשק. מדוע הוא לא עשה כך? ובכן הוא אומר שהוא פשוט המשיך מתוך אינרציה חסרת-מחשבה. הדברים הללו נראים לי כבלתי הגיוניים אפילו להגיון הממוצע שלי. א. כשגרמניה נכנעה, הנשק האטומי היה כבר כמעט מוכן והעבודה התאורטית והחשובית על אחת כמה וכמה. מה היתה המשמעות של הפסקת העבודה בשלב זה? ב. האם מדען רציונלי לא צריך להבין מראש כי ברגע שנתן את היכולות בידי המדינאים, תפקידו יסתיים והם לא ישאלו אותו מתי ונגד מי להפעיל אותן? ג. האם פיינמן היה כל כך מנותק שלא הבין שהאמריקאים קבעו את גרמניה כאוייב הראשי מתוך שיקולים איסטרטגיים ותועלתיים קרים, אבל באמוציה האמריקנית, היפאנים הם שהיו האוייב הראשי? ד. יתכן שפיינמן מכוון לגישה לפיה היה צריך לפתח את הנשק האטומי אך לא להשתמש בו. אם כך מדוע הוא אינו אומר זאת (כפי שעשה אופנהיימר למשל)? יתר על כן, נניח שארה"ב זכתה במרוץ האטומי נגד גרמניה הנאצית, אך גרמניה עדיין לא נוצחה וממשיכה לפתח את הנשק שלה. האם צריכה ארה"ב להשתמש בנשק שלה כדי לעצור את גרמניה או לא? ברור שגרמניה לא היתה עוצרת את הפיתוח שלה בגלל איום בלבד (אפילו איראן לא עושה זאת). דברי פיינמן נשמעים בבירור כחוכמת בדיעבד לא כל כך חכמה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, אני חשבתי שאתה מדבר על המשחקים שלו עם נמלים וכו'... אני מסכים שההערות *הללו* הם בעייתיות, אבל אני לא חושב שהן מעידות על תמהונות. מה שכן, אני לא רוצה לחשוב מה אני הייתי עושה במקומו, ואיך (והאם) הייתי מצדיק את עצמי אחר כך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנה לך שלישי לחבורה (הצצתי בספר): המתמטיקאי הצרפתי שירד מן הפסים הוא אלכסנדר גרותנדיק. אני מניח שבדיקה סטאטיסטית של הפרעות נפשיות בקרב מתמטיקאים מקצועיים תגלה פילוג נורמלי לחלוטין או פחות מכך. אך בדיקה כזו מפספסת את השאלה האמיתית. אני תוהה על שכיחות הבעיות הנפשיות בקרב המתמטיקאים הטובים והמפורסמים ביותר. מאחר ומטבע הדברים מדובר בחריגים, אני לא חושב שזו שאלה סטאטיסטית תקפה. התשובה צריכה להיות יותר בכיוון של קשר ממשי בין חריגות מבחינת יכולות מתמטיות וחריגות של התנהגות נפשית. יתכן שכל הקשר הוא סמאנטי, אבל מצד שני, מאחר ומדובר בתכונות מוחיות האם אי אפשר לשער (ספקולטיבית) שיתכן חיתוך מסויים בין מאפיינים מוחיים המתבטאים ביכולות מתמטיות חריגות (שעיקרן יכולת לחשוב בצורה שמעבר לנורמטיבי ולקונצנסואלי) לבין מאפיינים מוחיים המתבטאים בהתנהגות לא נורמטיבית וקונצנסואלית)? מי יודע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את הבדיקה אפשר לעשות גם בקרב המתמטיקאים הטובים והמפורסמים. בקשר לשאלת הקשר: אם איני טועה, במקרה של נאש, העבודה המרכזית שלו בוצעה לפני שהמחלה התפרצה אצלו במלוא העוצמה - ולאחר שזה קרה, הפוריות שלו ירדה פלאים (מן הסתם גם בגלל נסיבות חיצוניות). דומני שגם אצל גדל זה היה כך, אם כי אני פחות בטוח. הדוגמה של ארדש נראית לי מתאימה יותר - הבנתי שיש טענות שהוא סבל מסוג של אוטיזם (תסמונת אספרגר?). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פה בדיוק רציתי להיזהר: אצל פאול ארדש אני חושב שמדובר לכל היותר במקרה של נטיות למוזרות/חריגות/נון-קונפורמיזם. אני לא חושב שמישהו טוען שהחריגויות שלו מגיעות לרמה כזו שצריך לדבר על אבנורמליות נפשית או פיזיולוגית. וזה נפוץ אצל הרבה מאוד מדענים (וכבר הזכרנו את סלברג, פיינמן, פון-נוימן, רמנוג'אן). לגבי מחלת נפש של ממש כמו אצל נאש/גדל/גרותנדיק, אני חושב שכדאי שאוותר לך: זה לא נשמע מקבץ גדול מספיק והלחצים הסביבתיים מסביב לפנומנים מתמטיים ושכליים אחרים יכולים להסביר אפילו חריגה מן הנורמה הממוצעת של הפרעות. בקשר לנאש, בזמנו התענייתי יותר בשאלה אחרת שקצת קשורה לשאלתך (החפיפה בין המחלה לפוריות המתמטית). הסרט "נפלאות התבונה" מציג עמדה לפיה נאש באמצעות היתרונות המתמטיים-לוגיים של מוחו היה מסוגל להלחם בסימפטומים של מחלתו. אני מתכוון לסצנות בהן הוא שואל סטודנטים אם הם רואים את הדמות שהוא רואה. הטענה הזו נראית לי מופרכת לחלוטין. המחלה הנפשית מתבטאת אני חושב באובדן היכולת לשמור על שיפוט המציאות ולא בראייה פיזית ממשית של רודפים/ידידים. החולה סבור שמישהו/משהו הוא מישהו/משהו אחר ולא רואה דמויות במקום שאינם. אם נאש יודע שהוא יכול לראות הזיות ומנסה לבדוק זאת הוא אינו חורג מן הנורמה של בני-אדם שלעתים נדמה להם בטעות שהם רואים את ידידיהם/קרוביהם/אויביהם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבין גדול בעניין הזה, אבל כמובן שלא כדאי לסמוך על הסרט; זכור לי ששמעתי טענה לפיה נאש לא "ראה" אף אחד, אלא רק שמע קולות, כך שכל צורת ההצגה של הסרט שגויה. אין לי מושג אם זה נכון או לא, אבל בהתחשב בעובדה שהסצינה בסרט שלכאורה מציגה את הרעיונות המתמטיים של נאש (הבלונדינית בפאב ולמה עדיף לבחור בחברות שלה) לא נשמעת לי קשורה לשום דבר מאלו שאני שמעתי שנאש המציא (בפרט, לשיווי משקל נאש) - אני נוטה להיות חשדני. (אגב, יש מתמטיקאי בקהל שמסוגל לקשר בין הבלונדינית לבין משהו שנאש באמת עשה?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
- יש חולי נפש ש"רואים" אנשים/חייזרים/חיות במקום אין כאלה. זה נדיר, אבל קיים. - בין ה"גדולים ממש" יש הפרעות נפשיות קשות ואף מחלות נפש גם בקרב פילוסופים. ראה ויטגנשטיין, ניטשה ואחרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צ''ל חופש אקדמי (ולא אקדמאי) -טל''ח | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב. 1. אבל מה שאני טוען (בלי שהייתי שם) הוא שמתמטיקאים לא התקשו מול מכתביו של ראמאנוג'ן. הם או לא קראו אותם (מסיבות חברתיות, וכאן הטענה נכונה - אנשים מתוך כל ממסד לא ממהרים לקרוא טקסטים בעלי רקע משונה) או שקראו והבינו. אם ר' היה שולח מאמר לפרסום, היה קורה אותו הדבר בדיוק - או שהשופט של המאמר היא משליכו לפח בלי לקרוא בכלל, או שהיה קורא ומתרשם מאוד. כדאי לציין עוד משהו בוא נגעתי בעקיפין במאמר. יש במתמטיקה משהו המייחד אותה מכל תחום אחר, נדמה לי, והוא דווקא מקל את מלאכתם של הראמרנוג'נים וההארדיים ומקשה על טרחנים כפייתיים של ממש לעשות איזשהו רושם. נניח שאתה מקבל מכתב מהודי אלמוני ובו רשומות נוסחאות הנראות במבט ראשון כמופרכות ופנטסטיות לגמרי, כמו אלה המופיעות כאן: הנוסחאות מופיעות ללא הוכחה ואין לך שום סיבה להאמין שהן נכונות. *אבל*, אתה יכול בקלות יחסית לבדוק אם הן נכונות במידה רבה של סבירות - חשב את שני האגפים בקירוב טוב מספיק, והשווה. אם יש שוויון עד 20 ספרות אחרי הנקודה (נניח), אתה רשאי להניח שלפניך גאון. אף אחד לא יכול לזייף דבר כזה1. אולי ההודי לא שלח הוכחה, אולי הוא אפילו לא יודע להוכיח - אבל הוא בטוח יודע משהו אמיתי שכל העולם לא יודע. אני מנחש (שוב, בלי שהייתי שם) שהארדי וליטלווד שינו את דעתם באופן הזה בדיוק. ב. 2. קיוויתי שדה-סוטוי מצא משהו מקורי קצת יותר :-) האיש ששלח לעצמו מכתב הוא הארדי עצמו. הוא באמת פחד מההפלגה, והניח שאלוהים (אותו תיעב באופן אישי) לא יניח לא לטבוע, מחשש שיזכה לתהילת-עולם בזכות המכתב. אלכסנדר גרותנדיק (אותו הזכרת בהמשך) לא ירד מהפסים, הוא מעולם לא היה עליהם. סיפור חייו הוא מופלא באמת, ופעם חשבתי לכתוב עליו כאן ע"י ליקוט פיסות מידע ממקורות שונים, אבל אז אלין ג'קסון הקדימה אותי. http://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-p... ג. 2. טענתו של דה סוטוי מעניינת מאוד. קשה לאמת או להפריך אותה, אבל היא "נראית" ממש נכונה.http://www.ams.org/notices/200410/fea-grothendieck-p... 1 כיום, אפשר אולי לחפש בעזרת מחשב "צירופי מקרים" שכאלה. אבל הסיכוי למצוא זהויות אלגנטיות כמו אלו של ראמאנוג'ן (וכן, הן אלגנטיות, למרות שהן נראות מוזר) הוא מתחת לזערורי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב. 1. הבעיה עם הכתיבה של ראמנוג'אן היתה שהיה לו פורמליזם מאוד אישי של כתיבה מתמטית (שלא כל כך "התיישב" עם המקובל), כך שהיה קשה מאוד לתרגם את נוסחאותיו לכתיבה המקובלת (שלא כמו הנסחאות שהבאת) והיה קשה להבין מה הוא בעצם טוען (מרכוס דה סוטוי מביא נסחת סכום טור בה רמנוג'ן רשם סכום מודולו מבלי שהיה סימון כלשהו, כך שבמבט ראשון הנוסחה נראית אבסורדית). מצד אחד זה מחזק את הטיעון שהיה דרוש גאון כמו הארדי כדי לשים לב שיש משהו בדפים שקיבל וגם כך זה נס שכך קרה. מצד השני עדיין אני מנחש שרמנוג'אן ידע למי הוא שולח את נוסחאותיו, שכן רק לאדם שעסק ממש באותם נושאים כמו רמנוג'אן היה סיכוי לנחש את שפתו המתמטית. ג. 2. זו לא ממש טענה מקורית של דה-סוטוי וההוכחות שלו משכנעות ביותר. יש שם מובאה של מתמטיקאי צרפתי מן השורה הראשונה בן התקופה, שפשוט מסרב אפילו להתיחס לעבודות מתמטיות בטענה שאין להן שום יישום מעשי. ושוב אני ממליץ על הספר (המלצתו של טל כהן דיון 2734 ). כמתמטיקאי אני מניח שיהיה לך קשה עם הנסיונות של המחבר להמחיש מושגים ה"מובנים מעצמם" לאיש המקצוע, לפעמים באופן די מגושם. אבל הפלוס הגדול הוא העושר של הרקע ההיסטורי (וההתלהבות). למשל בעניין צרפת וגרמניה אני בטוח שתשתכנע. דרך אגב, מסקרן אותי לדעת: מן הספר נותרתי עם הרושם שהוכחת משפט רימאן צריכה לקדם פיצוח של קודים מסוג ה-RSA. לי זה נראה קצת מרחיק לכת. נראה שדרושים הרבה מאוד אפסים של פונקציית הזטא כדי ל"נסח" את המספרים הראשוניים הגדולים, אחרת היה אפשר לעשות זאת באופן חישובי "מהיר". ואם אכן כך, במה תועיל מציאת נסחה כללית לביטוי/חישוב האפסים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תוכל להפנות למקום בספר שבו מדובר על RSA, ואולי להרחיב קצת כאן? אני לא מבין בנושא כלום, אבל כדי לפצח את RSA צריך בעיקר לדעת איך לבצע פירוק מהיר לגורמים. למצוא ראשוניים גדולים צריך כל מי שרוצה להצפין עם RSA, אבל אלגוריתם מהיר בשביל זה קיים כבר כיום, מבלי שיהיה צורך בנכונות השערת רימן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בפרק העשירי: פיצוח מספרים וצפנים. כפי שכתב טל דיון 2734 הספר אינו ספר מתמטיקה אלא ספר על ההיסטוריה של המתמטיקה ולא בטוח שהנסיון שם להסביר את האלגוריתם מילולית תוך שימוש מינימלי בביטויים מתמטיים ימצא חן בעיניך (הסברים כאלו לעיתים גם מתקשים לחצות את מחסום התרגום). הסבר תמציתי שלא בורח מביטויים יש ב"סודות ההצפנה" של סיימון סינג בנספח י: המתמטיקה של צופן RSA. לגבי ההרחבה, אני ממש לא הכתובת כי אני חובבן מתמטי לחלוטין. אני יכול רק לצטט את ההסבר הציורי של סינג בסודות ההצפנה: א. יסוד הצופן הוא במנגנון המפתחות הציבוריים של דיפי-הלמן: נניח שא(ני) רוצה לשלוח לב(נק) את מספר האשראי שלי באופן בטוח. הבנק מייצר עבורי קופסת מטמון קטנה בעלת 2 מפתחות, מפתח נועל ומפתח פותח. הבנק שולח לי את הקופסה עם המפתח הנועל (e- מספר ההצפנה). אני שם פתק עם מספר האשראי שלי בקופסה, נועל אותה ושולח לבנק. הבנק הוא היחיד שיכול לפתוח את הקופסה כי רק ברשותו יש את המפתח הפותח. כלומר א' וכל העולם יכולים להצפין, אבל רק ב יכול לפענח. ב. איך מממשים מפתחות חד כיווניים כאלו במתמטיקה? בוחרים פונקציה פשוטה שהיפוכה קשה מאוד. דוגמה פשוטה ולא מקרית היא העלאה בחזקה מודולו. נניח שמספר האשראי שלי הוא 7. אני מעלה אותו בחזקת E=3 (מעין מספר ההצפנה) מודולו N=31 , התוצאה היא 2. כעת אני יכול למסור לך את התוצאה (2), את מספר ההצפנה (3) ואת המפתח הציבורי (31) ועדיין יהיה לך קשה לשחזר את ה-7 המקורי. ג. למזלך יהיה קשה, אך לא בלתי אפשרי (אתה צריך רק לבדוק הרבה פחות מ-31 אפשרויות). RSA השתמשו במשפט פרמה-אוילר (הרחבה של משפט פרמה הקטן) כדי להציע מפתחות חד כיווניים קצת יותר בטוחים. המשפט מבטיח ש-mod(X^(ed),N)=X כאשר ed=(p-1)*(q-1)+1, N=p*q ו-p,q ראשוניים. כעת הבנק בוחר p,q גדולים ובעזרתם מחשב ומפרסם את המפתח הציבורי N, את מספר ההצפנה e ומשאיר לעצמו את d בתור המפתח המפענח. אני מעלה את המספר שלי בחזקת e מוד N ושולח את הצופן לבנק. הבנק רק צריך להעלות את הצופן בחזקת d כדי לחשוף את הקוד המקורי. ד. כפי שאמרת, הסודיות של ההצפנה נסמכת על הקושי שבפירוק N ל-p*q ראשוניים. לו היה זה קל, כל האקר היה יכול לשחזר את התהליך. למזלם של המשתמשים אין אלגוריתם מהיר מספיק כדי לעשות זאת עבור ראשוניים גדולים מספיק. אם הבנתי נכון את דה-סוטוי הרי שהאפסים של פונקציית רימאן קשורים איכשהו לחישוב - (pi(N - מספר המספרים הראשוניים הקטנים מ-N, כך שהקשר בין השערת רימאן לפרוק לגורמים ראשוניים נראה לי רחוק מאוד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על השיעור המעניין, אבל אני כבר מכיר את החומר הזה (מספרו הנחמד של סינג וממקורות אחרים). התהיה שלי הייתה על הקשר של השערת רימן לכל זה - קשר שככל הידוע לי (וכאמור, אני לא מבין בזה כלום) אינו קיים. אני אעיף מבט בספר של דה-סוטוי בהזדמנות הקרובה ואראה איך הוא מציג את זה (מכיוון שהוא מתמטיקאי, אני מניח שהוא לא יגיד דברים לא נכונים). אגב, שים לב שהבעיה של "היפוך העלאה בחזקה מודולו" זה לא בדיוק מה ש-RSA משתמשים בו. הבעיה הזו נקראת "לוגריתם דיסקרטי", וגם היא בפני עצמה משמשת כבסיס למספר שיטות הצפנה ציבוריות. הפואנטה של RSA היא שקשה לחשב את d אם ידועים רק e ו-N. את d קל מאוד לחשב מתוך e אם ידוע מה שמכונה "פונקצית אוילר" של N, אבל הבעיה היא שהדרך הקלה ביותר שמכירים למציאת הערך שלה ב-N הוא על ידי פירוק N לגורמים (השאלה המעניינת היא האם יכולה להיות בתיאוריה דרך קלה יותר - עד כמה שידוע לי, אין תשובה כיום לשאלה הזו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לשאלתך האחרונה: הרבה מהפרסומים הפופולריים על השערת רימאן מנסים לעשות לה נפשות בקרב ההדיוטות ע"י קשירתה לשבירת צפנים ציבוריים, וחבל שגם דו-סוטוי נופל בפח הזה. חיפוש מהיר מעלה כותרת אופיינית: http://www.guardian.co.uk/uk_news/story/0,3604,12987... התחושה שלך שזה מרחיק לכת היא נכונה - אין שום סיבה להניח שהוכחת השערת-רימאן תשנה ולו בפסיק את בטיחותן של שיטות ההצפנה הציבורית המקובלות. אם מישהו חושב שיש בידיו אלגוריתם יעיל לפירוק מספרים ראשוניים תחת הנחת השערת רימאן, הוא מוזמן לממש אותו כבר עכשיו - אני מוכן לערוב לו שהוא יפעל באותה מידה של הצלחה יום לפני ויום אחרי פרסום ההוכחה."if... somebody really has cracked the so-called Riemann hypothesis, financial disaster might follow. " (ייתכן, עקרונית, שההוכחה עצמה תוסיף כל כך הרבה ידע להבנתנו מספרים ראשוניים שמשהו באמת ישתנה. זה נשמע לי מאוד, מאוד לא סביר, ובכל מקרה הוכחה כזו תהיה הרבה יותר מהוכחת השערת-רימאן "גרידא"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
<ניטפוק אידיוטי> אלגוריתם לפירוק מספרים ראשוניים באמת נשמע כמו סנסציה... </ניטפוק אידיוטי> | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוף. טל, מה התעריף לתיקון תגובות בדיעבד? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קראתי את הספר ולזכותו של דה -סוטוי שסוחף אותך לקריאה מרתקת אבל כפי שנכתב ובמיוחד בחלק השני יש עומס של פרוט על הגרף של רימן וכמו שנכתב זה די מגושם ומייגע. אבל הכיסוי ההיסטורי,מכפר במידה על ליקוי זה ואני בא מתחום ההנדסה והכשרת מורים למתמטיקה. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |