בתשובה לאלון עמית, 01/09/03 22:45
 |
|
 |
||
|
||||
 |
בעזרת שברים משולבים אפשר להוכיח שלכל מספר אירציונלי t קיימים אינסוף קירובים p/q כך ש- t-p/q|<C/q^2|, כאשר (C=1/sqrt(5 (מידע נוסף: Continued Fractions של Khinchin). הקבוע הזה הוא הטוב ביותר האפשרי, ולכן די בטוח שיש רק מספר סופי של קירובים לפאי שהם טובים עד-כדי אחד חלקי המכנה בשלישית. יש משפט של Siegel על קירובים למספרים אלגבריים (נתקלתי בו בספרון של Dickson משנות השלושים), אבל הוא כמובן לא רלוונטי כאן. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
סבורני שהעובדה שזה הקבוע הטוב ביותר האפשרי לא רלוונטית כאן. ברגע שאתה מתעלם משורש חמש וצאצאיו, הקבוע משתפר, ואפשר להמשיך ולשפר כך אם מעיפים בכל פעם עוד מספר מדרגה 2. בכל אופן, מספרים אלגבריים קשה לקרב, אבל מספרים טרנסצנדנטיים קל הרבה יותר (ברור שזה המצב ל-e, למשל). כאמור, אני באמת לא יודע מה המצב עם פאי, אבל לא הייתי מנחש כך סתם שאין לו אינסוף קירובים טובים כמו אחד חלקי המכנה בשלישית. לגבי המשפט של Siegel, הוא "נבלע" בתוך משפט חזק הרבה יותר של Roth. זוהי שרשרת משפטים שהחלה עם Liouville ועברה גם דרך Thue ואחרים, אם אינני טועה. Roth הראה שלמספר אלגברי אי-רציונלי יש רק מס' סופי של קירובים עד כדי אחד חלקי המכנה בריבוע (פלוס אפסילון). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(גם אתה מחזיק את העותק של Hardy & Wright פתוח בהערות של פרק XI?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(האמת, לא... אבל רעיון טוב :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפי מה שהבנתי המספר שהחל ממנו והלאה לא ניתן יותר לקרב את פאי הוא "מספר ליוביל" שלו, וחסם מלעיל הטוב ביותר עליו זה בערך 8, מה שבכל אופן עונה על השאלה לגבי סינוס של n^7 (?) . אבל הבנתי שלא ידוע אם זה אכן 2. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח... איך זה עונה על השאלה עם n^7? אם אתה מתכוון לחיוב (האינפימום הוא 0), הייתי עונה שלא כי 8 הוא רק חסם מלעיל. ואם לשלילה, הייתי עונה שלא כי הכיוון ההפוך לא ברור לי: יכול להיות שבאורח פלא יש לפאי הרבה קירובים רציונליים סבירים (סתם עד כדי מכנה בחזקת 1) עם מונה שהוא חזקת 7. נדמה לי שאם היו מראים חסם *מלרע* על מספר ליוביל, היית יכול להוכיח את הטענה שלך. אני כותב מאינטואיציה גרידא, וייתכן (כפי שכתבתי קודם) שאני מחמיץ משהו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אתה כמובן צודק. התכוונתי לשלילה, אבל לצערי זה לא ממש עוזר. כמו שציינת, אולי במקרה יש קרובי פלא. בכל אופן חיפשתי קצת חומר של Ruzsa באינטרנט ולא מצאתי הרבה מעבר להודעות שקישרת, ומהן אני לומד שזו כנראה בעיה קשה מאוד. יש בכלל דרך לדעת משהו על פתוח לשבר משולב של מספר במקרה והוא לא פתרון של משוואה ממעלה שניה? יש תוצאות לגבי פיתוח לשברים משולבים "מוכללים" - עם מנות לא בהכרח שלמות? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סבורני שידוע מעט מאוד על שברים משולבים של מספרים שאינם אלגבריים ממעלה שתיים. למשל, אין למיטב ידיעתי שום תוצאה על הפיתוח של השורש השלישי של שתיים (חוץ מזה שהוא לא מחזורי, כמובן). שברים משולבים "מוכללים" אני לא מכיר כלל. נדמה לי שהתוצאה על קירובים לכפולות-פאי ע"י חזקות איננה *שקולה* לתוצאה כלשהי על הפיתוח שלו לשברים משולבים, רק שהיא יכולה לנבוע מתוצאה מספיק חזקה כזו, כפי שציינו. אבל בכל מקרה נראה שזה עסק קשה מאוד. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |